[文章][數學]九毛九的數學...張海潮

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yll 於 星期四 七月 28, 2005 10:29 am


九毛九的數學...張海潮

教 育 的 內 容 應 來 自 生 活 , 數 學 教 育 自 不 例 外 。 只 是 生 活 上 常 見 的 數 學 議 題 深 淺 不 一 , 一 個 議 題 究 竟 應 該 在 什 麼 時 機 , 以 什 麼 方 式 進 入 教 材 , 教 育 界 的 看 法 也 未 必 一 致 , 複 利 就 是 一 個 最 好 的 例 子 。

  複 利 的 概 念 並 不 困 難 。 借 錢 要 付 利 息 , 利 息 未 付 轉 而 累 積 到 本 金 , 變 成 了 本 金 的 一 部 分 , 自 然 隨 同 原 來 的 本 金 再 生 新 的 利 息 。 假 設 本 金 是 一 百 元 , 每 期 利 息 是 十 元 , 第 一 期 終 了 本 利 和 是 一 百 一 十 元 。 到 了 第 二 期 終 了 , 因 為 是 以 一 百 一 十 元 作 為 新 的 本 金 , 本 利 和 就 變 成 了 一 百 廿 一 元 。 這 兩 期 產 生 的 利 息 總 共 是 廿 一 元 , 其 中 包 括 第 一 期 的 利 息 十 元 和 第 二 期 的 利 息 十 一 元 。 第 二 期 的 利 息 比 第 一 期 的 利 息 多 了 一 元 , 這 一 元 是 由 第 一 期 的 十 元 利 息 再 生 出 來 的 利 息 。 此 所 謂 本 生 利 , 利 滾 利 , 利 能 滾 利 , 就 是 複 利 。 計 算 的 時 候 要 以 一 點 一 自 乘 , 一 點 一 倍 指 的 是 一 期 下 來 的 本 利 和 , 兩 期 之 後 就 是 一 點 一 的 平 方 , 是 一 點 二 一 , 三 期 之 後 是 一 點 一 自 乘 三 次 , 答 案 是 一 點 三 三 一 。 如 此 繼 續 , 困 難 度 在 於 以 一 點 一 自 乘 下 去 , 如 何 掌 握 一 般 的 結 果 。 例 如 二 十 期 以 後 , 本 利 和 究 竟 是 原 始 本 金 的 多 少 倍 ?

  有 人 認 為 , 現 在 計 算 工 具 如 此 方 便 , 取 一 點 一 在 掌 上 型 計 算 器 上 , 連 續 自 乘 二 十 次 , 有 何 困 難 ? 這 種 小 型 計 算 器 據 說 在 美 國 一 般 小 店 零 售 只 需 美 金 九 毛 九 , 因 此 上 述 複 利 的 計 算 -- 亦 即 自 乘 再 自 乘 -- 被 貶 稱 為 「 九 毛 九 的 數 學 」 。

  不 過 , 就 複 利 在 生 活 中 出 現 的 全 貌 來 看 , 自 乘 只 是 計 算 的 初 步 。 現 代 生 活 中 一 個 常 見 的 商 業 行 為 是 分 期 付 款 , 以 買 車 為 例 , 車 價 六 十 萬 , 付 了 頭 期 款 二 十 萬 把 車 開 回 來 , 買 主 欠 了 車 行 四 十 萬 , 準 備 以 月 付 若 干 的 方 式 , 在 兩 年 中 付 清 。 兩 年 就 是 二 十 四 期 , 每 個 月 應 該 付 給 車 行 多 少 才 算 合 理 ?

  就 算 把 這 個 問 題 看 成 是 一 個 月 利 率 固 定 的 複 利 借 款 關 係 , 仍 然 有 相 當 的 困 難 度 , 原 因 是 本 金 並 非 固 定 。 第 一 個 月 底 如 果 還 了 兩 萬 , 那 麼 從 第 二 個 月 開 始 , 買 主 只 欠 車 行 三 十 八 萬 , 再 加 上 第 一 個 月 因 為 四 十 萬 所 生 的 利 息 , 如 此 以 降 , 本 金 陸 續 減 少 , 但 是 又 有 若 干 利 息 新 增 。 在 這 樣 一 個 互 有 增 減 的 過 程 中 , 如 何 求 得 一 個 固 定 而 合 理 的 數 目 k k 究 竟 每 個 月 平 均 要 付 給 車 行 多 少 錢 ? 兩 萬 顯 然 太 多 , 一 萬 七 如 何 ? 一 萬 八 呢 ?

  與 分 期 付 款 平 行 的 另 一 個 概 念 是 零 存 整 付 , 月 存 若 干 , 到 期 取 回 一 筆 「 鉅 款 」 。 客 戶 每 存 一 期 , 該 期 存 款 就 以 複 利 計 息 直 到 取 回 的 那 一 天 , 只 是 每 期 存 款 存 的 期 數 都 不 相 同 , 如 何 計 算 這 些 分 進 合 擊 的 本 利 和 一 定 難 倒 許 多 客 戶 。 但 是 不 計 算 , 又 如 何 知 道 這 些 零 存 整 付 的 案 子 是 否 合 理 ?

  再 以 信 用 卡 繳 付 的 循 環 利 息 來 說 , 基 本 上 這 是 一 個 年 息 百 分 之 二 十 以 日 計 息 的 月 複 利 。 所 謂 以 日 計 息 , 指 的 是 以 欠 款 的 百 分 之 二 十 除 以 三 百 六 十 五 天 作 為 每 天 的 利 息 , 累 計 一 個 月 後 , 到 了 下 個 月 就 併 入 可 以 生 息 的 欠 款 部 分 。 因 此 循 環 利 息 之 可 怕 一 方 面 在 於 它 是 年 息 百 分 之 二 十 的 高 利 貸 , 另 一 方 面 因 為 是 月 月 生 息 的 複 利 。

  看 來 這 些 錢 莊 多 半 都 是 吃 人 不 吐 骨 頭 , 用 盡 方 法 讓 借 貸 的 客 戶 不 能 翻 身 。 其 實 並 非 如 此 , 他 們 對 待 存 戶 也 盡 心 盡 力 , 只 不 過 大 部 分 的 存 戶 不 通 數 學 , 得 到 好 處 也 渾 然 不 知 。 以 存 款 來 說 , 金 融 機 構 付 出 的 利 息 都 是 以 日 計 複 利 。 比 方 說 , 年 息 百 分 之 二 的 存 款 , 金 融 機 構 大 概 會 付 息 百 分 之 二 點 零 二 , 這 個 多 出 來 的 點 零 二 就 是 將 百 分 之 二 除 以 三 百 六 十 五 再 以 日 計 複 利 多 出 來 的 部 分 。 對 存 戶 來 說 , 錢 交 到 別 人 手 上 , 當 然 希 望 日 日 生 利 , 不 , 不 只 是 日 日 , 最 好 分 分 秒 秒 都 能 生 利 , 再 以 複 利 計 之 。 這 個 想 法 , 古 已 有 之 , 因 而 有 一 個 以 大 數 學 家 Euler姓 氏 命 名 的 數 字 e , 它 的 近 似 值 是 二 點 七 , 意 思 是 說 如 果 存 入 一 元 , 約 定 年 息 百 分 之 百 , 若 以 單 利 計 , 一 期 的 本 利 和 是 二 元 , 但 是 如 果 以 分 分 秒 秒 計 之 , 年 底 可 收 回 二 點 七 元 , 這 多 出 來 的 「 點 七 」 , 不 算 少 數 , 全 拜 複 利 所 賜 。

  從 單 利 所 生 兩 倍 的 本 利 和 , 可 以 因 為 分 分 秒 秒 的 複 利 計 息 而 變 成 二 點 七 倍 的 本 利 和 , 其 實 是 一 個 求 極 限 近 似 值 的 問 題 , 有 相 當 的 困 難 度 , 一 般 中 學 生 可 能 無 法 理 解 。 這 部 分 的 教 材 目 前 擺 在 大 一 所 修 的 微 積 分 中 。

  誰 說 複 利 只 是 九 毛 九 的 數 學 ?



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yll
帥哥良~
帥哥良~
 
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來自: 天父的小花園~






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