[問題][數學]工數求解(急!!!)請幫幫忙,謝謝

[問題][數學]工數求解(急!!!)請幫幫忙,謝謝

訪客 於 星期六 七月 23, 2005 11:48 am


1. (D^2+1)y=-x^-2+lnπx (ans: yp=lnπx)
這題是非齊次方程式,它的解是y=yh+yp,yh我算得出來,但yp怎麼求?我想不透,怎麼設yp;例如:等後右邊如是sinx,那麼yp就設成yp=Asinx+Bcosx,那如題所示,我應如何設呢?
2. y''''=0,y(0)=1,y'(0)=0,y''(0)=-1,y'''(0)=30 (ans: 1-1/2x^2+5x^3)
這題高階線性微分方程式,這題我就真的都不會了,煩請工數高手指導,謝謝

訪客

 

Eclipse 於 星期一 七月 25, 2005 5:30 pm


2. y''''=0 , 很明顯要滿足y微分4次=0之方程式必為 y=Ax^3+Bx^2+Cx+D
所以假設通解為
==> y(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D   ....(1)     y(0)=1 ==> D=1
==> y'(x)=3Ax^2+2Bx+C        ....(2)     y'(0)=0 ==> C=0
==> y''(x)=6Ax+2B                .....(3)     y''(0) =-1  ==> B= -1/2
==> y'''(x)=6A                     .......(4)    y'''(0)=30 ==> A=5

==> y=5x^3-0.5x^2+1

由4個initial condition 可解出A B C D 4個常數
國中生都會解

其實此題不須任何技巧~此題是考觀念~考妳到底懂不懂什麼是ODE
只要懂"微分方程"的涵義此題就可解了
y''''=0   要解y , 翻譯成白話 就是找一函數 y(x) 使得 y對x微分4次後會=0,
很明顯y一定是3次多項式
這樣說懂了嗎

至於第一題麻~~太久沒碰工數了~~要研究研究一下

Eclipse
初學者
初學者
 
文章: 18
註冊時間: 2005-01-29
來自: Taipei

訪客 於 星期二 七月 26, 2005 9:00 am


Eclipse 寫到:2. y''''=0 , 很明顯要滿足y微分4次=0之方程式必為 y=Ax^3+Bx^2+Cx+D
所以假設通解為
==> y(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D   ....(1)     y(0)=1 ==> D=1
==> y'(x)=3Ax^2+2Bx+C        ....(2)     y'(0)=0 ==> C=0
==> y''(x)=6Ax+2B                .....(3)     y''(0) =-1  ==> B= -1/2
==> y'''(x)=6A                     .......(4)    y'''(0)=30 ==> A=5

==> y=5x^3-0.5x^2+1

由4個initial condition 可解出A B C D 4個常數
國中生都會解

其實此題不須任何技巧~此題是考觀念~考妳到底懂不懂什麼是ODE
只要懂"微分方程"的涵義此題就可解了
y''''=0   要解y , 翻譯成白話 就是找一函數 y(x) 使得 y對x微分4次後會=0,
很明顯y一定是3次多項式
這樣說懂了嗎

至於第一題麻~~太久沒碰工數了~~要研究研究一下
謝謝您,但您回答問題,怎麼還要這樣揶揄呢?國中生有教微分嗎?

訪客

 

Eclipse 於 星期二 七月 26, 2005 12:11 pm


謝謝您,但您回答問題,怎麼還要這樣揶揄呢?國中生有教微分嗎?


sorry~如果我讓你誤會我很抱歉∼我指的是有4個方程式及4個初始值可解4個要待定之係數,國中生都可以解得出4個係數∼並不是說國中生可以解此題ODE~
我要強調的是不要被公式套牢了∼與公式不同的就不會解了∼重要的要知道ODE含意
不要很會解題但解半天不知在解什麼∼這就是被公式套牢了∼也是大多數學生的缺點
不過此題依然可以用待定係數法求解∼
y''''=0 ==> D^4*y = 0 ==> D=0,0,0,0 四重根,
所以令 y=AX^3+BX^2+CX+D  
當然你現在應該可以知道為什麼特徵方程式n重根y要令為n-1次多項式??
你也可以想想為什麼共扼複根要設為三角函數形式,而相異實跟要設為指數函數形式??
公式很重要∼但不要被套死了

Eclipse
初學者
初學者
 
文章: 18
註冊時間: 2005-01-29
來自: Taipei






大學以上數學問題