[數學]代數的由來

[數學]代數的由來

12345678910 於 星期一 七月 11, 2005 7:51 pm


代數的由來
    
    Algebra一名來自阿拉伯文al-jabr,al為冠詞,jabr之意為恢復或還原,解方程式時將負項移至另一邊變成正項,也可說是還原,也有接骨術的意思。中國在1859年正式使用代數這個名稱(李善商在代微積拾級一書中的序中指出“中法之四元,即西法之代數也”),在不同的時期有人用算術作為代數的名稱,中國古書九章算術其實是一本數書百科全書,代數問題分見於各章,特別是第八章方程,主要是論述線性(一次)聯立方程組的解法,秦九韶(1249)的數書九章中有“立天元一”的術語,天元就是代表未知數,用現在的術語來說就是“設未知數為x”。    
    早期的代數學是求解方程式的數學分支,我們所熟知的一元二次方程式ax2+bx+c=0,根的方式為,遠在公元前1700巴比倫時期的泥板就有類似的記載,只是沒有用現代的形式、符別來表達。古希臘人嘗試用幾何作圖的方法來解二次方程式,不過一直等到公元100年左右,才有代數公式的記號出現。他們也曾利用求錐線交點的方法,試圖去解三次方程式。三次方程式的代數解一直不為人所知,只有Pacioli在1494年提過方程式如 x3+mx=n 與 x3+n=mx 的形式,在當時已知的數學知識,尚無法解決。    
    文藝復興時期,一群在義大利北方Bologna的一群數學家發現,三次方程式求解的問題可以化簡為下列三種基本形式:x3+px=q,x3=px+q,x3+q=px。其實這三種形式在現在來看均屬同一形式,只是當時他們還未能認知負數的概念,以致於必須區分為三種形式。Scipio del Ferro被公認是這三種形式解法的權威;他把其中一種的解法傳給他的一個弟子Fior。但在1535年,另外一位數學家Fontana在一個公開與Fior競賽的場合中展示他所創的方法,但拒絕出示細節。一直到有一位物理學家Cardano在1545年所出的一本書中才完全展示出來的,同時書中也披露四次方程式的解法,這個解法是將四次方程式化簡為三次形式而得,此方法是Ferrari所首創。    
    以下是三次方程式 x3+px=q 由Fontana所發現的解之公式:

    
    這個公式是將原方程式中的係數p、q藉由加、減、乘、除以及開根號所得,這個表示法在代數中稱為根的表示法(radical expression)。至此所有次數小於或等於4的方程式都已解決,很自然地,人們不禁要問五次方程式是否也有類似根的表示法呢?    
    歷史上的許多偉大數學家都曾經嘗試探討這個問題的奧妙,但都徒勞無功。Tschirnhaus曾經聲稱已發現此問題的解,但後來為Leibniz證明是錯的,歐拉也曾著手此問題未得結果,但卻發現新的四次方程式的解法。1770年義大利數學家拉格朗基(Lagrange,見數學家小傳)跨出史上的重要的一步,他利用解四次方程式所用的技巧發現一個很重要的事實,當一個方程式之次數小於或等於4時,可以求得一個由其根所形成的函數,此函數不因根的重排而改變,但是當他嘗試五次方程式就無法得逞。這個發現給當時的數學界一種感覺,那就是五次方程式可能沒有根的表示法。在1813年Ruffini試圖證明其不可能性,他的論文發表在一本不甚有名的期刊上,其中的證明並不完整,也沒有引起多大回響,這個問題最後的終結者是挪威數學家亞倍爾(Abel,見數學家小傳),他在1824年證明一般的五次方程式是無根的表示,也就是五次方程式,一般說來並無根的公式。當然有些特別的五次方程式還是有根的公式,例如 x5-2=0。    
    現在僅存的問題是如何決定何時一個五次方程式是否有根的表示,亞倍爾繼續努力尋求答案,但未找出來就死了,他死於西元1829年,3年後一位年輕的法國人,蓋羅瓦(Galois,見數學家小傳)在一場決鬥中喪失了生命,此人為數學天才,生前非常不得志,為了贏取數學界對他作品的承認,曾經數次投稿論文到巴黎的科學研究院,可惜都遭拒絕,在他死後11年,也就是1843年的7月4日,數學家露比爾(Joseph Liouville)在法蘭西科學院演講,他的開場白是這樣的:謹在此鄭重宣布並希望引起貴院的興趣,我已在蓋羅瓦的論文中發現對於五次方程式是否有根的問題獲得肯定的答案,就如同其問題本身的深奧性,它是正確無誤的,……。    
    蓋羅瓦的理論(Galois Theory)是將抽象代數中的群(group)與體(field)建立對應的關係,並藉由計算蓋羅瓦群(Galois group)來判斷一個多項式是否有根的表示。    
    此地順便提到抽象代數(Abstract algebra)的發展背景:抽象代數又稱近世代數(modern algebra),他的基本觀念與目標都決定於十九世紀。由於代數可以處理實數與複數以外的物集,例如向量、矩陣超數、變換(transformation)等,這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定,而數學家將個別的演算經由抽象手法把共有的內容昇華出來,並因此而達到更高層次的效率,這就是抽象代數誕生的場景。抽象代數的研究已成為二十世紀的熱潮之一,而且現在它已經拓展到悠遠的境界,前面所提過的數學家,都曾經在抽象代數的發展作出重大的貢獻,我們也可以說尋求方程式有無根的表示法是開發抽象代數的原動力。抽象代數中所介紹的結構是以群、環(ring)、體為主。    
    最後我們想利用一些篇幅來介紹天才橫溢,英年早逝的蓋羅瓦。蓋羅瓦於1811年10月25日誕生在法國巴黎附近的一個城市名叫Bourg-la-Reine,他的父親是一位共和黨黨員,思想開明,在1814年路易十八復位後變成當地的市長,他的母親出自名門,外公是當時知名的法學家。由於母親良好的知識背景,蓋羅瓦孩童時期的教育都由她獨自啟蒙,在古典學如拉丁語等打下非常紮實的根基,在他10歲時,有一個機會去就讀當時很好的一個學院名叫Reims,但他的母親寧可讓他待在家裡親自教導,直到1823年的10月他才進入正式的教育學制。在他進入學校的前兩年,蓋羅瓦表現非常優異,尤其是拉丁文更拿首獎。但不久他就發現學校的課程枯燥無味,他非常厭倦學習重複的功課,不過也在這個同時,蓋羅瓦發現了一個新天地,那就是數學。在一個偶然的機會讓他有機會接觸到一本雷根德(Legrendre)所著的「幾何原理」,這是一本與傳統歐氏幾何無關的古典教本。當他開始閱覽此書時,就深深地被其內容所吸引,聽說他看這本書就好像在唸一本小說一般。當然學校的代數課本不能與雷根德的傑作相比,蓋羅瓦很自然地開始轉移學習重心到Legrendre與亞倍爾所著的論文上,他十五歲時就已經開始研讀專業數學家所寫的作品了。但學校的功課對他一點也不具啟發性,漸漸地,他對學校的課程失去了興趣,他的老師也不瞭解他,而且還指責他不務正業缺乏雄心與創意。    
    蓋羅瓦的作品並非井然有序,這可以從他所留下來的一些手稿看出來,而且他通常習慣在他的腦中演算或考量,只有經過深思熟慮的結果才會訴諸紙上,他的老師Vernier就曾建議他作有系統的整理,但他全不理會。在沒有很適當的準備下,他匆匆參加著名的安寇爾理工學院(Ecole polytechnique)的入學考試,當時的安寇爾理工學院是法國培養數學家的搖籃,只要能被錄取入學,必能得到日後成就的保證。但很不幸地,他失敗了。二十年後有人評論說:一流頭腦的候選人碰上二流頭腦的考官必然註定失敗。    
    在1828年蓋羅瓦進了安寇爾師範學院,這是一所比安寇爾理工學院失色的學院,在此他遇到了他的恩師李察(Richard),李察對蓋羅瓦非常地賞識,而且堅信他不用參加考試,安寇爾理工學院就應接受他。    
    次年,蓋羅瓦發表了他的第一篇論文,那是一篇有關連續函數的專論,論調還可以,但非經典之作,同時他已在多項式方程式理論方面作了一些基本的研究工作,而且也投稿到當時的法國科學院,當時的審稿人為大名鼎鼎的歌西(Cauchy,見數學家小傳),歌西已經在這方面的研究上著墨很多,他所作的工作恰好就是蓋羅瓦理論的中心主題,可是歌西拒絕了他的稿件。另一件八天後的稿件也遭受退件的命運,後來這些原稿也遺失了。    
    同年,他遭遇人生兩件不幸的災難,一是他的父親的自殺,另一件是他參加安寇爾理工學院的入學考試再度挫敗。傳說他在口試時,不知為什麼一時失控,竟然向考官丟擲黑板擦,可能是考官問的問題太簡單或太不上道,以致激怒我們這一位數學天才。    
    在1830年的2月,蓋羅瓦向科學院遞交他的研究報告,參加數學大獎的競賽,這是數學界最高的榮譽。他的作品曾被評定價值遠超此獎項。這一份手稿由當時科學院的總幹事富利葉(Fourier)負責審查。富利葉把它帶回家準備細心精查,但還未開始看就死了,而此份手稿也再也找不到了。這一連串的挫折對蓋羅瓦的打擊甚大,他覺得當時的社會所展示的是一種崇尚平庸、排斥天才的現象。他的憤世嫉俗也表現在對當時高壓皇族政權的不滿。    
    查理五世在1824年繼承路易十八為法皇,1827年在野的自由派曾在一些選舉中有所斬獲,1830年他們又獲得多數的席位。查理面對退位的威脅,試圖製造政變。在當年7月25日他發表聲名狼藉的告示(Ordonnances),鎮壓新聞的自由,人民不甘受壓起而反抗,造成動亂不安的情勢,持續了三天,最後由奧蘭公爵路易菲力浦繼位。在此動亂中無數的學生走上街頭製造歷史,可是蓋羅瓦與他的同學卻被學校限制在校內不得參加示威遊行。這個舉動激怒了蓋羅瓦,他寫了一封攻擊校長的信件,發表在校報上,這個行動導致他被學校開除。    
    1831年的1月17日他寫了一篇論文給科學院,標題是:論方程式有根解的條件。當時,歌西已不在巴黎,布阿松(Poisson)與拉冠斯(Lacroix)被指定為論文的評審,這兩位也是知名的數學家(統計分配中有一種為poisson distribution),但經過了數月也無回音,蓋羅瓦忍不住寫了一封信給研究院的院長詢問結果,也得不到任何的答覆,蓋羅瓦實在失望已極。    
    蓋羅瓦後來去參加共和黨的一個組織,名叫國民自衛隊,他在這個自衛隊中當砲兵,後來他的長官被控陰謀叛亂,以致砲兵團被皇室命令解散,為了表示抗議,他們在5月9日舉行一個聚會,聲援他們的同志,場面越來越熱烈,以致有點混亂,當時蓋羅瓦曾建議為法王乾杯,當時他手中拿著一把小刀,他的同伴把他的這種舉動解釋為對國王的一種威脅,大力拍手讚許,以致全場情緒失控,第二天蓋羅瓦被捕,在法庭中他承認一切,但宣稱並無不法意圖,他後來被法庭判決無罪釋放。    
    在7月4日他得到了論文命運的回音,布阿松竟然宣稱他的論文是不可瞭解的(incomprehensive),他覺得蓋羅瓦論文中的證明推理不夠明晰,思路的發展也不夠井然,總之無法判斷其正確與否。一件可能是曠世之傑作竟然在他們的手中被抹殺了。    
    7月10日蓋羅瓦帶頭領導一場共和黨的示威,身著被廢砲兵團的制服,手中拿著刀槍,他馬上被當局逮捕,並被判入獄服刑六個月,在獄中他繼續從事數學的研究,在次年的霍亂流行中,他被轉送到醫院,隨即他被假釋出獄。    
    蓋羅瓦生平曾經歷過一場唯一的戀愛,其對象是一個名叫米拉史蒂芬妮的女孩,不過這一段插曲仍舊是一個謎,不過肯定的是這與後來所發生的事情有關。傳說蓋羅瓦被這個女孩拒絕,而他也很不能接受這樣的事實,不久他被挑戰去做一場決鬥,表面的原因是他與這個女孩的關係有牽連,其實這也是個謎。有一派學者斷言說,這個女孩只是一場排除政治異己的幌子而已。    
    在1832年的5月29日,也就是決鬥的前夕,蓋羅瓦寫給他的朋友Auguste Chevalier一封非常有名的信,信中概述他的一些發現,這些結果後來被Chevalier發表在一本百科全書中,文中他大概描述群與多項式方程式的關聯,並且聲稱一個多項式有根的公式表示法,只要其所決定的群是可解的(solvable)。他同時也提到許多其他的概念,如橢圓函數、代數函數在信中的空白處,蓋羅瓦草草地寫著:我已沒有多少時間了。這封信無疑是世上最感傷的文件。    
    在決鬥中,蓋羅瓦被擊中肚子,次日便死於腹膜炎,結束了他坎坷的一生。

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註冊時間: 2005-06-29






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