[教學]費氏級數

[教學]費氏級數

12345678910 於 星期一 七月 11, 2005 7:41 pm


費氏級數

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生物學上的數學遊戲

偶爾觀察一下植物王國,你就會清楚看到生命的第二個秘密,比在其他任何地方 都來得明顯──到處都可以找得到數學模式:再對稱排列的花瓣裡,再沿著莖幹上下 疊置的葉子裡,在某些植物的圓形種子和某些植物的尖型種子裡,以及在其他一些 隨風飄散的種子的小小降落傘狀物裡。

不過,植物的其他特徵則因演化而與原始物理學愈離愈遠。植物的數學原理〈 如果有的話〉,一直隱藏在演化的層層修補中。有某些花多會模仿雌蠅,是為了 騙雄蠅前來做親密的接觸,以便傳播化粉;這種植物與昆蟲交互作用的演化, 時間已經長達數億年之久。

我們已經注意到,植物〈如花瓣及其他各種外貌〉裡出現的數目,常取自費 布納西數列:1、2、3、5、8、13、21、34、55、89˙˙˙˙˙, 在這個數列中,每一個樹都是其前兩個數的合。如有例外,多半會是下列兩種情形當中 的一種:一、這些數成對出現,這種把戲可能是由植物染色體的某些獨特性 變出來的,但仍然屬於費布納西模式﹔二、所謂的「異常數列」1、3、4、7、11、18、29 這個數列也是按照與費布納西數列相同的加法模式,只不過開始的數字不同。



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費布納西數術之謎
 
為了解釋植物的費布納西數術,人們已經花了三百多年努力尋找答案。終於, 這個目標好像已經完成了

我們先來談數術〈numerology〉。要了解費布納西數出現在植物中的狀況,最好的方法 其實不是把重心放在這些數的四則運算上。就某種意義而言,這些數的相加模式是一 種巧合,是費布納西數術的數學結果,但不是其重要依據。 探討這個問題最好的方法,就是來看植物幾何學。


                        

                

要看植物中的模式,最好的起點之一就是從向日葵這個例子開始看起: 向日葵的排列方式。在此我們會看到相當驚人的數學模式。
向日葵的花呈現出兩組螺線,一組是順時中旋轉,另一組則是逆時鐘, 兩者好像可以互相套合。在這個例子中,有三十四條像車輪幅調但呈彎 曲狀的順時鐘螺線,並有五十五條逆時鐘方向的螺線,這兩個數目並不相同 ,但都是費布納西數──而且在數列中的位置是相鄰的。確實的數目要視 向日葵的種類而定,不過我們通常看到的是「三十四及五十五」一組,或 「五十五及八十九」一組,甚至有的是「八十九及一百四十四」一組。 為了充分了解這個數字的數學的重要性,我們取費布納西數列的相鄰數目來檢驗一下 ,譬如三十四與五十五:我們先化成對的分數34/55,然後乘以360度,得到的結果 約為222.5度。現在,我們可以量這個角的外角或內角;因為222.5度大於180度, 所以要用360度來減掉,就得到「137.5度」這個神秘數。

我們可以證明,當數字愈來愈大時,費布納西數列中相鄰兩數的比率會愈來愈接近 0.6182。像剛才所舉的34/55=0.6182,就已經很接近這個值了。精確的極限值為 (√5-1)/2,也就是所謂的「黃金數」(golden number), 通常用希臘字母ψ(讀做phi)表示。因此我們稱137.5度為「黃金角」(golden angle) ;更準確的值則為137.50776度。

而且我們得知,要使花頭最密實、最堅固,最有效的堆排方式是讓發散角等於 黃金角──這就是黃金角會這麼特別的原因,而這一切全來自有效率堆排的幾何原理。


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費布納西數列公式


身為數學系的學生,對於數字的敏感度是無庸置疑的,因此看到這樣的一個數列 不禁問自己,這樣的數列可以用更簡單的方式來表達嗎?、可以只用一個變數來描 述費布納西數列嗎?──其實這是可以的,現在讓我們來看看這樣的一個公式吧!


此處 Phi=Φ=(1+√5)/2 、-phi=ψ=(1-√5)/2

費布納西數列Fib(n)  1  1  2  3  5  8  13  21  ......  
n  0  1  2  3  4  5  6  7  ......  

經由自己動手算可得到與費布納西數列的每一項皆相同,但到底這樣的公式是 如何來的呢?讓我們來證明看看吧!! fibonacci series的證明

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初學者
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註冊時間: 2005-06-29






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