[試題]2003年<<高中組決賽>>試卷

[試題]2003年<<高中組決賽>>試卷

yll 於 星期四 五月 15, 2003 10:37 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<高中組>>決賽試卷 ㄏㄏㄏ

1.試卷提供:Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意
在你按下"回覆文章"回覆本考題的同時
你將看到考題
這也就是你的開考時間
請確定你有一完整的180分鐘作答

4.請在180分鐘內
用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案
超過時間請不要再修改你的答案
違者以0分計

5.等比賽宣佈結束
會公佈大家的答案和成績



6.請確定會用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案

7.在你有任何疑問時
請不要按下"回覆文章"
否則後果自負




8.按下"回覆文章"計時180分開始
看見一個需要,並用數學解決它!

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4367
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來自: 天父的小花園~

yll 於 星期四 五月 15, 2003 10:38 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組決賽試卷

                

                           時間限制:180分鐘

一、     計算題,共240分,一題60分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有
       部分分數)

   費盡千辛萬苦,總算來到了決賽,可別功虧一簣喔,請試解下列題目:

【問題1】有一個多角形以數條直線切割之後,分成幾個多角形。
            切割成的多角形之邊數合計比原來的多角形邊數還多了13條
            ,內角的合計是原來的多角形內角和的1.3倍。請問原來的多角
            形被分成幾個多角形?

  【問題2】用1997乘以1以上的整數,會得出「9」的數字連續5個這種形
            式的積。
            在這樣的積中,請求出最小的數。

  【問題3】你現在有1、2、3、…等正整數公斤的砝碼和天平,而你現在有
            1、2、…、13公斤的貨物要秤,請你挑選出最少的砝碼使得你可
            以把這13樣物品的分別重量用天平秤出來

  【問題4】有兩個兩位數,相加之後的數是個位數和十位數的數字相等的2
            位數整數,而相乘之後的數則是百位數、十位數、個位數相等的
            3位數整數。請寫出這樣的2個整數組的答案。
看見一個需要,並用數學解決它!

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4367
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來自: 天父的小花園~

---- 於 星期五 五月 16, 2003 12:46 am


1. 完全不明題意(yll 嘗試解釋,仍不明白,sorry)
我不明白取點的問題

2.
設所求數為d99999e
其中e是n位數,則有
d99999e=0(mod 1997)
10^(n+5) d +99999 *10^n + e =0(mod 1997)
150*10^n d + 149*10^n + e =0(mod 1997)
設  150*10^n d + 149*10^n + e =1997a
10^n(150d +149)+e=1997a
若e為0,則150d+1490=1997a
1997a-150d=1490
1=9-2*4
=9-(47-9*5)*4
=4*9-47*4
=21*(150-47*3)-47*4
=21*150-67*47
=21*150-(1997-150*13)(67)
=892*150-67*1997
149=132908*150-9983*1997
故d=132908-1997t
a=-9983+150t
[132908/1997]=66, 則t>=67時,d<0
[9983/150]=66, 則t>=67時,a>0
故a,d 不會同時為正,無解。
若d為0,則
e=1997a-149*10^n
[14900/1997]=7
1997*8-14900>100, 無解
[150000/1997]=75
1997*75-149000=775
則e最少為775 ,99999775是8位數解之一。
由於已知一個8位數解,故現在只考慮7,8位數解的情況。
若所求數為7位數,
則d,e都是1位數
10(150d +149)+e=1997a
因1<=d,e<=9,
左手邊<=10(150*9+149)+9=14999
[14999/1997]=7
則a=1,2,3,4,5,6,7
1500d+1490+e=1997a
1500d+e=1997a-1490=1997(a-1)+507
若a=1,無解。
若a=2,無解。
若a=3,明顯地d=3,e=1,則3999991為一解。
當a=4,5,6,7時,d>3,即使有解,必大於3999991,故不用考慮。
因8位數大於7位數,故亦不用考慮。
即答案為3999991=1997x2003。
3. 不太明白,天秤可不可以兩邊放?
若不可以,答案為1,2,4,6,因為
由二進制,1,2,4能組成1-7的整數,加上6,則7-13的數字也能組合起來。

若可以,答案為1,3,9,因為
1=1
2=3-1
3=3
4=1+3
5=9-(3+1)
6=9-3
7=9+1-3
8=9-1
9=9
10=9+1
11=9+3-1
12=9+3
13=9+3+1

4. 百位數, 十位數, 個位數相等===>乘積被111整除,又
111=3x37, 111>100
故其中一個二位數含有37的因子,另一個含有3這個因子。
因為3x37=111>100,故含有37因子的這個二位數只能是37或74。
相加之後個位數和十位數相同==>被11整除。
若其中一個是37
37=4(mod 11)
則另一個兩位數要=7(mod 11)
設另一個兩位數為3a
3a=7(mod 11)
因為3a<100
所以3a=7, 11+7, 2(11)+7, ...8(11)+7
a=7/3, 6, 29/3, 40/3, 17, 62/3, 73/3, 28, 95/3
因a必是整數,故a=6, 17, 28
有解:(37,18), (37,51), (37,84)
但37+84=121>100
且37*51=1887>1000
故摒除,有解:(37,18)
若其中一個是74
74=8(mod 11)
則另一個兩位數要=3(mod 11)
設另一個兩位數為3b
3b=3(mod 11)
b=1(mod 11)
3b<100
b<33
故b=1, 11+1, 22+1
b=1,12,23
但b=1時,3b<10, 摒除
當b=12時,3b=36, 74*36>1000,摒除
當b=23時,3b=69, 74*69>1000,摒除。
故只有一組解(37, 18)

----
訪客
 

Herbie 於 星期五 五月 16, 2003 8:16 am


go
流星~~流星~~雖然倏的而逝,但是他發出的光芒可是閃閃耀人、令人驚嘆!

IChO要再2005年時在台灣舉行喔

我們台灣奧運加油!

Herbie

 
文章: 841
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來自: 港都-打狗

Raceleader 於 星期六 五月 17, 2003 6:37 pm


【問題1】
一個凸n邊形,內角和=180°(n-2)

數個凸多邊形(設總邊數=a):
因為切割成的多角形之邊數合計比原來的多角形邊數還多了13條
因此a=n+13

而內角的合計=180°(1.3)(n-2)
新的數個多邊形,總邊數也必為整數
因此(1.3)(n-2)必為整數,所以n-2必為10的倍數
即是n=12,22,32,42,...

所以(n,a)=(12,15),(22,28),(32,41),...
a-n顯然是3的倍數,因此無解

Notice:
如果多了12條,那麼n=42,a=54
可以在凸42邊形,在頂點再分割6條不相交的線,分了7個凸多邊形


【問題2】
如果要連續5個數為9,那麼五位數只有99999
但是99999=50*1997+149,因此不符

六位數,符合的有:
199999=100*1997+299
299999=150*1997+449
399999=200*1997+599
499999=250*1997+749
599999=300*1997+899
699999=350*1997+1049
799999=400*1997+1199
899999=450*1997+1349
999999=500*1997+1499

999990=500*1997+1490
999991=500*1997+1491
999992=500*1997+1492
999993=500*1997+1493
999994=500*1997+1494
999995=500*1997+1495
999996=500*1997+1496
999997=500*1997+1497
999998=500*1997+1498
因此六位數不符

七位數有三種表達形式
ab99999, c99999d, 99999ef

ab99999:
99999=50*1997+149
因此ab00000除1997的餘數=1997-149=1848,才使ab99999整除1997
分別使1000000,1100000,1200000,...,9900000除以1997,所得餘數分別為

1500, 1650, 1800, 1950, 103, 253, 403, 553, 703, 853, 1003, 1153, 1303, 1453, 1603, 1753, 1903, 56, 206, 356, 506, 656, 806,

956, 1106, 1256, 1406, 1556, 1706, 1856, 9, 159, 309, 459, 609, 759, 909, 1059, 1209, 1359, 1509, 1659, 1809, 1959, 112, 262,

412, 562, 712, 862, 1012, 1162, 1312, 1462, 1612, 1762, 1912, 65, 215, 365, 515, 665, 815, 965, 1115, 1265, 1415, 1565, 1715,

1865, 18, 168, 318, 468, 618, 768, 918, 1068, 1218, 1368, 1518, 1668, 1818, 1968, 121, 271, 421, 571, 721, 871
沒有一個餘數=1848,所以任何的ab99999,沒有一個能整除1997

99999ef:
9999900=5007*1997+921
9999999=5007*1997+1020
沒有一個餘數=1997,所以任何的99999ef,沒有一個能整除1997

c99999d:
1999990=1001*1997+993
1999999=1001*1997+1002

2999990=1502*1997+496
2999999=1502*1997+505

3999990=2002*1997+1996
3999999=2003*1997+8
因此其中必有一個數能整除1997
發現2003*1997=3999991,符合題要
因此最小的數=2003,積=3999991


【問題3】
1個法碼顯然只能量度1個重量:a
2個法碼顯然只能量度4個重量:a, b, (a+b), (a-b)

既然是天平,理應可以同時兩邊放,可作加減達到最少法碼
可以考慮進制幫助,利用最少法碼表達所有數字
如果用2進制,則要用4個法碼 (1,2,4,8公斤),但可以只放一邊
如果用3進制,則只用3個法碼 (1,3,9公斤),但要放兩邊

1=1
2=3-1
3=3
4=1+3
5=9-(3+1)
6=9-3
7=9+1-3
8=9-1
9=9
10=9+1
11=9+3-1
12=9+3
13=9+3+1

所以1公斤、3公斤、9公斤便是所需,只要3個砝碼



【問題4】
3和37是質數
因為37*3=111,由此入手
37*3=111
37*6=222
37*9=333
37*12=444
37*15=555
37*18=666
37*21=777
37*24=888=74*12
37*27=999

我們發現37+18=55
所以兩個兩位數=(37,18)

Raceleader
訪客
 

於 星期六 五月 17, 2003 8:55 pm


2.
1997
X 44667
13979 (7*7末數9)
11982 (7*6+7末數9)
11982 (7*6+7末數9)
7988 (7*4+1末數9)
7988 (7*4+1末數9)
89199999
故最小89199999
3.取1克的法碼,任意試貨物的重量,跟1公斤法碼平衡的貨物為1公斤
依此類推
1+1=2 找到2公斤的貨物
2+1=3 找到3公斤的貨物
....
12+1=13 找到13公斤的貨物
故最少取1公斤的法碼
4.n1+n2=11r,n1*n2=111k=37*3*k,又n1和n2為二位數,故let n1=37x,n2=3y
37x+3y=11r
找兩組
r=5,x=1,y=6
r=8,x=2,y=4
(n1,n2)=(37,18),(74,12)

訪客
 

Searchtruth 於 星期五 五月 23, 2003 11:00 pm


1.
內角的合計是原來的多角形內角和的1.3倍
設所有ㄉ直線共t條,並在此多邊形內之交點數為k,此多邊型為n邊形
=>(n-2)180*(1.3-1)=360k
=>k=3(n-2)/20
原本就有nㄍ邊~
在邊邊上因切割後所多出ㄉ線條數為(2t+n)~
內部有2(tt-2t+2k)條~
=>...
好複雜喔...懶ㄉ想ㄌ= ="

2.設所求為1997*k
1997k=100000m+99999
=>2000k=100000(m+1)+(3k-1)
=>2000|(3k-1)
設2000r=3k-1
=>(2000r+1)/3=50(m+1)+r
=>(1997r+1)=150(m+1)
=>150|(1997r+1)
=>150|(47r+1)
令150t=47r+1
=>r=(150t-1)/47
=>47|(150t-1)
=>47|(9t-1)
=>t=21  
=>r=67
=>k=44667
=>1997*44667=89199999(真是夠難算ㄉ= =")

3.選取1,2,4,8gㄉ法碼...

4.設此兩數為x,y
因為兩數相乘之後三位數皆相等...
=>111|xy
=>37|xy , 3|xy
因為x,y有對稱性...不妨令37|x
=>x=37,74
=>3|y , 令 y=3k , k E Z
when x=37,
因為x+y之合兩位數皆相等
=>11|x+y
=>11|37+y
=>11|3k+4
(3k+4)=11~K=7/3~無解
(3k+4)=22~K=6~=>y=18
(3k+4)=33~k無整數解
(3k+4)=44~3k=40 , y=40 ,but 40*37=1480不是三位數ㄌ...
=>(x,y)=(37,18)
同理...因為在寫下去...有點讓費時間..^^"(打字慢)
=>(x,y)=(74,12)

~~The end~~

Searchtruth
訪客
 

宇智波鼬 於 星期二 六月 14, 2005 6:00 pm


選1.2.4.6也可以.
1=1
2=2
3=2+1
4=4
5=4+1
6=6
7=6+1
8=6+2
9=6+2+1
10=6+4
11=6+4+1
12==6+4+2
13=1+2+4+6
還有,砝碼應該都是定型的.請問您要如何將一9公斤的砝碼減掉3+1公斤的砝碼呢?
放兩邊是什麼意思?
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

娜可兒 於 星期二 六月 14, 2005 6:36 pm


yll 寫到:  【問題3】你現在有1、2、3、…等正整數公斤的砝碼和天平,而你現在有
            1、2、…、13公斤的貨物要秤,請你挑選出最少的砝碼使得你可
            以把這13樣物品的分別重量用天平秤出來

Raceleader 寫到:既然是天平,理應可以同時兩邊放,可作加減達到最少法碼
可以考慮進制幫助,利用最少法碼表達所有數字
1=1
2=3-1
3=3
4=1+3
5=9-(3+1)
6=9-3
7=9+1-3
8=9-1
9=9
10=9+1
11=9+3-1
12=9+3
13=9+3+1
所以1公斤、3公斤、9公斤便是所需,只要3個砝碼

宇智波鼬 寫到:選1.2.4.6也可以.
還有,砝碼應該都是定型的.請問您要如何將一9公斤的砝碼減掉3+1公斤的砝碼呢?
放兩邊是什麼意思?

雖然宇智波鼬選1,2,4,6也可以,但Raceleader選1,3,9卻是最少的砝碼數
按照題意(紅字部分),Raceleader的答案才是正解
對於宇智波鼬的兩點疑問:
一。放兩邊是什麼意思?
答:放兩邊就是同時在天平的兩邊放砝碼
  (也就是一邊只放砝碼,但另一邊除了要秤的物品外,還加了其他的砝碼
   在
Raceleader的解答中,以紅字標示的就是和物品放在一起的砝碼)
二。請問您要如何將一9公斤的砝碼減掉3+1公斤的砝碼呢?
答:以5=9-(3+1)為例
  要秤出5公斤的物品,
  則取1公斤與3公斤的砝碼和物品放在一起,而另一邊只放9公斤的砝碼。
  因為平衡,所以
物品+1+3=9
  也就是說物品=9-(3+1)=5
不知如此解說能不能為您解惑?
  
*真正熱愛數學的人,是重質不重量的
 希望大家成為數學狂熱者,而不是積分狂熱者
 別做讓版管為了您的文而頭疼的小白!

*知識的價值 不在於你能擁有多少
 而是在於你要如何活用於生活之中
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

娜可兒
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文章: 765
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來自: 侍魂-神仙之村    職業: 蝦夷族巫女        興趣: 蹓鷹

訪客 於 星期二 六月 14, 2005 7:39 pm


娜可兒 寫到:
yll 寫到:  【問題3】你現在有1、2、3、…等正整數公斤的砝碼和天平,而你現在有
            1、2、…、13公斤的貨物要秤,請你挑選出最少的砝碼使得你可
            以把這13樣物品的分別重量用天平秤出來

Raceleader 寫到:既然是天平,理應可以同時兩邊放,可作加減達到最少法碼
可以考慮進制幫助,利用最少法碼表達所有數字
1=1
2=3-1
3=3
4=1+3
5=9-(3+1)
6=9-3
7=9+1-3
8=9-1
9=9
10=9+1
11=9+3-1
12=9+3
13=9+3+1
所以1公斤、3公斤、9公斤便是所需,只要3個砝碼

宇智波鼬 寫到:選1.2.4.6也可以.
還有,砝碼應該都是定型的.請問您要如何將一9公斤的砝碼減掉3+1公斤的砝碼呢?
放兩邊是什麼意思?

雖然宇智波鼬選1,2,4,6也可以,但Raceleader選1,3,9卻是最少的砝碼數
按照題意(紅字部分),Raceleader的答案才是正解
對於宇智波鼬的兩點疑問:
一。放兩邊是什麼意思?
答:放兩邊就是同時在天平的兩邊放砝碼
  (也就是一邊只放砝碼,但另一邊除了要秤的物品外,還加了其他的砝碼
   在
Raceleader的解答中,以紅字標示的就是和物品放在一起的砝碼)
二。請問您要如何將一9公斤的砝碼減掉3+1公斤的砝碼呢?
答:以5=9-(3+1)為例
  要秤出5公斤的物品,
  則取1公斤與3公斤的砝碼和物品放在一起,而另一邊只放9公斤的砝碼。
  因為平衡,所以
物品+1+3=9
  也就是說物品=9-(3+1)=5
不知如此解說能不能為您解惑?
  

謝謝您的詳細指點,因為我不知道可以這樣做,這個方法真是妙呢!

訪客

 






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