[數學]環球

[數學]環球

宇智波鼬 於 星期日 六月 12, 2005 10:29 am


今年環球的試題,箇中好手們來挑戰看看吧!

International Mathematics Tournament of Towns
環球城市數學競賽
2005春季賽 國中組 高級卷 20/03/2005
每題必須詳細寫下證明及理由,只寫答案不一定有分數。

  1.點A、B為一元二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖形上的相異兩點,其中a、b、c為整   數。若點A、B的兩個座標都是整數,且線段AB的長也是整數,試證直線AB平行於x軸。(四分)

  2.三角形ABC的兩條高AD和BE交於點H。點X、Y分別為線段AB及CH之中點,試證直線XY與直線DE互相垂直。(五分)

3.有一款名貴手錶的表面為圓形且沒有任何圖案或記號,只有互不等長的時        針、分針和秒針,這些錶針的轉速都與一般準確的手錶相同。該款手錶的設計  師宣稱他可用這款手錶辨別8:00到19:59之間的所有時刻,理由是該款手錶各錶  針之間的相對位置在此期間內都不會重複。請問這位設計師所說的理由正確嗎?(五分)

  4.將一張10×12的方格表沿格線摺疊若干次後而得到一疊1×1的正方形。進行以下之操作:
(a)     沿最後得到這疊正方形某一對(b)     的對(c)     邊中點恰剪一刀;(二分)
(d)     沿最後得到這疊正方形某一對(e)     的鄰邊的中點恰剪一刀。(四分)
剪開後再將紙片展開,請問可得到多少張紙片?(註:確定所有可能的答案,並證明除此之外沒有別的答案。)

5.有一種遊戲是將數個長方體的木塊全部恰好裝入一個長方體鐵盒內(鐵盒的體積等於木塊的總體積)。由於製造上的誤失,每個木塊的長、寬、高恰有一項比原設計稍小(不同的木塊中可能有的長較小、有的寬較小或有的高較小)。無論這些木塊的誤失為何,請問是否存在有一個長方體鐵盒,其中長、寬、高恰有一項比原來的尺寸小,保證仍然能夠把這些製造誤失的木塊全部放入?(盒內的木塊的每條邊都必須與外盒的對應邊平行)(六分)

6.有分別寫上數1,2,3,…,25的紙牌各一張,甲、乙二人依下列規則玩遊戲。
(1)     由某人開始任選一張牌,(2)     另一人決定將(3)     此張牌分給誰;
(4)     從第二次開始,(5)     則由二人中所得到牌上的數之總和較大者先選牌(若二人總和相同,(6)     則由上次先選牌者繼續選牌);
(7)     取完所有牌後,(8)     二人中所得到牌上的數的總和較大者勝。
如果由甲先選牌,是否能保證甲一定會贏?(六分)

7.將8×8的方格表的小方格內依下列方式標記上數字:在左上角(1, 1)位置的小方格內標上1,在它的右鄰(1, 2)位置及下鄰(2, 1)位置的小方格內分別標上2,3;在下一行斜線 (1, 3)、(2, 2)與(3, 1) 三個位置的小方格內分別標上4,5及6,依此類推。每條斜線的小方格內標記數的順序是由右上的方格依序到左下的方格。在倒數第二條斜線 (7, 8)、(8, 7) 二個位置的小方格內標記的數是62及63,在最末一條斜線(8, 8)位置的小方格內標記的數是64。開始時小丁在這個方格表上放入8顆石子,使得每行每列都各只有一顆石子,然後他把每一顆石子朝比它原來位置標記的數大的方格移動。經過這樣的操作後,請問是否有可能仍然保持每行每列都各只有一顆石子?(八分)
《成績是取最高得分三題的總和,考試時間五小時。》

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉






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