[數學]經典悖論漫遊

[數學]經典悖論漫遊

J+W 於 星期日 四月 17, 2005 12:45 pm


  古今中外有不少著名的悖論,它們震撼了邏輯和數學的基礎,激發了人們求知和精密的思考,吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考,悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。

  本文將根據悖論形成的原因,粗略地把它歸納爲六種類型,分上、中、下三個部份。這是第一部份:

由概念自指引發的悖論和引進無限帶來的悖論

(一)由自指引發的悖論

  以下諸例都存在著一個概念自指或自相關的問題:如果從肯定命題入手,就會得到它的否定命題;如果從否定命題入手,就會得到它的肯定命題。

1-1 謊言者悖論

  西元前六世紀,哲學家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):“所有克利特人都說謊,他們中間的一個詩人這麽說。”這就是這個著名悖論的來源。

  《聖經》奡蕈g提到:“有克利特人中的一個本地中先知說:‘克利特人常說謊話,乃是惡獸,又饞又懶’”(《提多書》第一章)。可見這個悖論很出名,但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。

  人們會問:艾皮米尼地斯有沒有說謊?這個悖論最簡單的形式是:

1-2 “我在說謊”

  如果他在說謊,那麽“我在說謊”就是一個謊,因此他說的是實話;但是如果這是實話,他又在說謊。矛盾不可避免。它的一個翻版:

1-3 “這句話是錯的”

  這類悖論的一個標準形式是:如果事件A發生,則推導出非A,非A發生則推導出A,這是一個自相矛盾的無限邏輯迴圈。拓撲學中的單面體是一個形像的表達。

  哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論,並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》婸★D:“自亞堣h多德以來,無論哪一個學派的邏輯學家,從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的,但是指不出糾正的方法是什麽。在1903年的春季,其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”

  他說:謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾:“那個說謊的人說:‘不論我說什麽都是假的’。事實上,這就是他所說的一句話,但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才産生一個悖論。”
(同上)

  羅素試圖用命題分層的辦法來解決:“第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題;第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題;其餘仿此,以至無窮。”但是這一方法並沒有取得效。“1903年和1904年這一整個時期,我差不多完全是致力於這一件事,但是毫不成功。”(同上)

  《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的,並且使用邏輯術語說明概念,回避自然語言的歧意。但是他在書的序言媞棖o是:“發表一本包含那麽許多未曾解決的爭論的書。”可見,從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。

  接下來他指出,在一切邏輯的悖論堻ㄕ酗@種“反身的自指”,就是說,“它包含講那個總體的某種東西,而這種東西又是總體中的一份子。”這一觀點比較容易理解,如果這個悖論是克利特以爲的什麽人說的,悖論就會自動消除。但是在集合論堙A問題並不這麽簡單。

1-4 理髮師悖論

  在薩維爾村,理髮師挂出一塊招牌:“我只給村堜狾釣漕リㄤ髡菑v理髮的
人理髮。”有人問他:“你給不給自己理髮?”理髮師頓時無言以對。

  這是一個矛盾推理:如果理髮師不給自己理髮,他就屬於招牌上的那一類人。有言在先,他應該給自己理髮。

  反之,如果這個理髮師給他自己理髮,根據招牌所言,他只給村中不給自己理髮的人理髮,他不能給自己理髮。

  因此,無論這個理髮師怎麽回答,都不能排除內在的矛盾。這個悖論是羅素在一九○二年提出來的,所以又叫“羅素悖論”。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節的表述。顯然,這堣]存在著一個不可排除的“自指”問題。

1-5 集合論悖論

  “R是所有不包含自身的集合的集合。”

  人們同樣會問:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定義,R應屬於R。如果R包含自身的話,R又不屬於R。

  繼羅素的集合論悖論發現了數學基礎有問題以後,1931年歌德爾(Kurt Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一個“不完全定理”,打破了十九世紀末數學家“所有的數學體系都可以由邏輯推導出來”的理想。這個定理指出:任何公設系統都不是完備的,其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定的
命題。例如,歐氏幾何中的“平行線公理”,對它的否定産生了幾種非歐幾何;羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。

1-6 書目悖論

  一個圖書館編纂了一本書名詞典,它列出這個圖書館堜狾酗ㄕC出自己書名的書。那麽它列不列出自己的書名?

  這個悖論與理髮師悖論基本一致。

1-7 蘇格拉底悖論

  有“西方孔子”之稱的雅典人蘇格拉底(Socrates,西元前470-前399)是古希臘的大哲學家,曾經與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。他建立“定義”以對付詭辯派混淆的修辭,從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不爲希臘人所容,竟在七十歲的時候被當作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅逐、書被焚十二年以後,蘇格拉底也被處以死刑,但是他的學說得到了柏拉圖和亞奡策h德的繼承。

  蘇格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什麽都不知道。”

  這是一個悖論,我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。古代中國也有一個類似的例子:

1-7 “言盡悖”

  這是《莊子·齊物論》堬齯l說的。後期墨家反駁道:如果“言盡悖”,莊子的這個言難道就不悖嗎?我們常說:

1-7 “世界上沒有絕對的真理”

  我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。

1-8 “荒謬的真實”

  有字典給悖論下定義,說它是“荒謬的真實”,而這種矛盾修飾本身也是一種“壓縮的悖論”。悖論(paradox)來自希臘語“para+dokein”,意思是“多想一想”。

  這些例子都說明,在邏輯上它們都無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。有沒有進一步的解決辦法?在下面一節的最後一部份還將繼續探討。

(二)引進無限帶來的悖論

  《墨子·經說下》中有一句話:“南方有窮,則可盡;無窮,則不可盡。”如果在有限中引進無限,就可能引起悖論。

2-1 阿基奡筑紗

  稍晚于畢達哥拉斯的古希臘數學家芝諾(Zeno of Elea),曾經提出過一些著名的悖論,對以後數學、物理概念産生了重要影響,阿基奡筑紗蚻O其中的一個。

  阿基奡窗]Achilles)是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講:阿基奡策b賽跑中不可能追上起步稍微領先於他的烏龜,因爲當他要到達烏龜出發的那一點,烏龜又向前爬動了。阿基奡筒M烏龜的距離可以無限地縮小,但永遠追不上烏龜。

  方勵之先生曾經用物理語言描述過這個問題:在阿基奡筑紗蚺尹洏峇F兩種不同的時間度量。一般度量方法是:假設阿基奡絰P烏龜在開始時的距離爲S,速度分別爲V1和V2。當時間T=S/(V1-V2)時,阿基奡絕N趕上了烏龜。

  但是芝諾的測量方法不同:阿基奡絞N逐次到達烏龜在前一次的出發點,這個時間爲T'。對於任何T',可能無限縮短,但阿基奡等羶椰b烏龜的後面。關鍵是這個T'無法度量T=S/(V1-V2)以後的時間。

2-2 二分法悖論

  這也是芝諾提出的一個悖論:當一個物體行進一段距離到達D,它必須首先到達距離D的二分之一,然後是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以無窮地劃分下去。因此,這個物體永遠也到達不了D。

  這些結論在實踐中不存在,但是在邏輯上無可挑剔。

  芝諾甚至認爲:“不可能有從一地到另一地的運動,因爲如果有這樣的運動,就會有‘完善的無限’,而這是不可能的。”如果阿基奡筐さ磥W在T時追上了烏龜,那麽,“這是一種不合邏輯的現象,因而決不是真理,而僅僅是一種欺騙”。這就是說感官是不可靠的,沒有邏輯可靠。

  他認爲:“窮盡無限是絕對不可能的”。根據這個運動理論,芝諾還提出了一個類似的運動佯謬:

2-3 “飛矢不動”

  在芝諾看來,由於飛箭在其飛行的每個瞬間都有一個暫態的位置,它在這個位置上和不動沒有什麽區別。那麽,無限個靜止位置的總和就等於運動了嗎?或者無限重復的靜止就是運動?中國古代也有類似的說法,如:

2-4 “飛鳥之景,未嘗動也”

  這是中國名家惠施的命題,與“飛矢不動”同工異曲。這就是不可抗拒的推理和不可回避的實事相衝突。

  德國哲學家尼采在《希臘悲劇時代的哲學》埵酗@章《可疑的悖論》,稱芝諾的悖論爲“否定感官的悖論”。儘管阿基奡策b賽跑中追上起步領先的烏龜完全合乎事實,但爲什麽“不合邏輯”?因爲芝諾運用了“無限”這個概念,這是一種邏輯上的假設,而現實世界堿O不可能有無限者存在的,這就出現了假設與現實的矛盾。

  尼采說道:在這兩個悖論堙A“無限”被利用來作爲化解現實的硝酸。如果無限是決不可能成爲完善的,靜止決不可能變爲運動,那麽,真相是箭完全沒有飛動,它完全沒有移位元,沒有脫離靜止狀態,時間並沒有流逝。

  換句話講,在這個所謂的、終究只是冒牌的現實中,既沒有時間、空間,也沒有運動。最後,連箭本身也是一個虛象,因爲它來自多樣性,來自由感官喚起的非一的幻象。下面是尼采的分析:

  假定箭擁有一種存在,那麽,它就是不動的、非時間的、非造而有的、固定的、永琲滿C這是一個荒謬的觀念!

  假定運動是真正的實在,那麽,就不存在靜止。因而,箭沒有位置、沒有空間。又是一個荒謬的觀點!

  假定時間是實在的,那麽,它就不可能被無限地分割。箭飛行所需要的時間必定由一個有限數目的瞬間組成,其中每個瞬間都必定是一個原子。仍然是一個荒謬的觀念!

  尼采得出這樣的結論:我們的一切觀念,只要其經驗所與的、汲自這個直觀世界的內容被當作“永痧u理”,就會陷入矛盾。如果有絕對運動,就不會有空間;如果有絕對空間,就不會有運動;如果有絕對存在,就不會有多樣性;如果有絕對的多樣性,就不會有統一性。

  事實上,這兩個悖論中提到的這個“動與不動”的對立統一,今天都已經得到了完美的解決,這就是極限理論的誕生。牛頓在運動學研究時,初創微積分,但由於沒有鞏固的理論基礎,出現了歷史上的“第二次數學危機”。十九世紀初,法國科學家以柯西爲首建立了極限理論,後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成爲微積分的堅定基礎,運動問題也得到了合理的解釋。

  可以想見,在微積分和極限理論發明或被接受以前,人們很難解釋這一運動佯謬。感官不同于思維,當希臘人用概念來判決現實的時候,如果邏輯與現實發生矛盾,芝諾指責感官爲“欺騙”。當思維找不到合理解釋的時候,直觀的形式、象徵或比喻都無濟於事。尼采的分析雖然詳細、精闢,但他無法把它們綜合起來。

2-5 “一尺之捶,日取其半,萬世不竭”

  這是《莊子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中國古人同樣運用了無限的概念。

  戰國名家宋國人惠施(約西元前370-前310)曾任梁國的宰相,論辯奇才,是莊子的朋友,和公孫龍並列爲名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能從其他諸家的論述中看到他的言行片段。

  惠施的學說強調萬物的共相,因而事物之間的差異只是一種相對的概念,現存與惠施有關的奇怪命題,例如,“山與澤平”、“卵有毛”、“雞三足”、“犬可以爲牛”、“火不熱”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤駒未嘗有母”等,都可以說是悖論,但是大部份沒有留下具體的爭辯過程。惠施的悖論在西方也很有影響。

  毛澤東從辯證法的角度基本接受惠施無限可分的觀點。一九六四年八月十八日,他同哲學工作者談話時說:“列寧講過,凡事可分。舉原子爲例,不但原子可分,電子也可分。”又說:“電子本身到現在還沒有分裂,總有一天能分裂的。
‘一尺之捶,日取其半,萬世不竭’,這是個真理。不信,就試試看。如果有竭就沒有科學了。”

  有人注意到,毛澤東十分偏愛這句話,如五十年代中期對家錢三強,一九六四年八月同周培源、於光遠,一九七三年、一九七四年接見楊振寧、李政道,等等,都提到這句話。

2-6 “1釐米線段內的點與太平洋面上的點一樣多”

  多少哲學家、數學家都唯恐陷入悖論而退避三舍。二十三歲獲博士學位的德國數學家康托爾(1845-1918)六年以後向無窮宣戰。他成功地證明了:一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應,也能和空間中的點一一對應。由於無限,1釐米長的線段內的點,與太平洋面上的點,以及整個地球內部的點都“一樣多”。

  然而,康托爾的“無窮集合”與傳統的數學觀念發生衝突,遭到謾罵。直到一八九七年第一次國際數學家會議,他的成果才得到承認,幾乎全部數學都以集合論爲基礎。羅素稱讚他的工作“可能是這個時代所能誇耀的最巨大的工作。”

  同時,集合論中也出現了一些自相矛盾的現象,尤其是羅素的理髮師悖論,以極爲簡明的形式震撼了數學的基礎,這就是“第三次數學危機”。此後,數學家們進行了不懈地探討。

  例如,一九九六年英國康橋大學出版社出版了亨迪卡的《數學原理的重新考察》,這本書以羅素的《數學原理》(1903)爲藍本的,試圖完善邏輯和數學基礎。它主要闡述了亨迪卡和桑朵新創的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)邏輯及其可能産生的影響。它挑戰了許多公認的觀念,如公理集合論作爲數學理論的適當框架,對說謊者悖論也作了進一步的探討。它是否將引起一場邏輯和數學基礎的革命?我們還將拭目以待。

原文網址:

http://www.xys.org/xys/magazine/GB/1999/articles/991208.txt

續篇因為大都是哲學的東西,所以就不放進來了
有興趣的網友可以自己參考

http://www.xys.org/xys/magazine/GB/2000/articles/000311.txt

J+W
版 主
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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30






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