[分享]數學通報轉載

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J+W 於 星期四 十二月 23, 2004 12:29 pm


載《數學通報》2004年第4期
 
利瑪竇和徐光啓翻譯《幾何原本》的過程
楊澤忠(上海交通大學科學史系 200030)
 
1. 問題提出
  我國的《九章算術》和古希臘的《幾何原本》是古代東西方兩種數學體系的代表,它們截然不同。明朝末年《幾何原本》被翻譯到中國來,極大地影響了中國原有的數學學習和研究的習慣,改變了中國數學發展的方向,因而,這個過程是中國數學史上的一件大事,值得一書。可是,看現在一般的數學史和科技史書籍,提及此事,均是寥寥數筆,著墨不多。即使有揚z多者,也多半是對此過程或者是對此書的翻譯者――利瑪竇和徐光啓的溢美之詞,且不甚系統。而對於此過程的詳細情況,涉獵極少。以至於,現在不少的數學教師和學生不瞭解此段歷史,對於利瑪竇和徐光啓是如何將《幾何原本》翻譯過來的感到很是陌生。不瞭解此段歷史,勢必要影響到實際的數學學習和教學。所以,弄清出這段歷史是很有意義的。
  現在書上介紹利瑪竇和徐光啓翻譯《幾何原本》的過程,一般只是說:他們1606年開始,1607年完成等,僅此而已。其實,他們翻譯的過程並不這麽簡單,期間也是曲曲折折,再三思量。特別是對於一些關鍵的問題,他們更是費盡心思。甚至不斷地向周圍有關的人員請教,或是參考其他的書籍等。由此,《幾何原本》也可以說是多人共同努力翻譯的結果。縱觀整個翻譯過程,其大體可以分爲三個階段:一是無意間嘗試翻譯,二是爲研究科學正式翻譯,三是爲推廣目的進行刻印。

2. 無意間嘗試翻譯
  據載,利瑪竇(Matteo Ricci)於1577年5月離開羅馬,於1583年2月來到中國。8月在肇慶建立“仙花寺”,開始傳教。爲了傳教,利瑪竇從西方帶來了許多用品,比如聖母像、地圖、星盤和三棱鏡等。這其中就有歐幾媦w的《幾何原本》。這是利瑪竇在羅馬學院學習用的課本。它是由利瑪竇的恩師當時歐洲著名的數學家克拉維烏斯(Clavius)神父根據歐幾媦w的《幾何原本》整理編纂的。本來歐幾媦w的《幾何原本》有十三卷,克拉維烏斯神父在後面又增添了兩卷注釋,這樣總共十五卷。
  利瑪竇在中國的傳教一開始很不順利。爲此,利瑪竇轉變了策略,決定採取了曲線傳教的方針,先向公蛚}放圖書室、展示地圖、宣揚西方科技等,然後再伺機行事。事實證明,此計果然奏效。利瑪竇的這些行動不僅吸引了很多平民百姓,而且也招來了很多知識份子。比如當時的知俯王泮和知名學者顧起元等。
  在這些招來的知識份子中,有一個從蘇州來的浪蕩公子叫瞿太素。據說,其系出名門,是明朝禮部尚書瞿景淳之子,但其從小忤逆孔孟,不學無術。後來敗壞了其全部家財,就開始到處流浪,靠父親生前好友的施捨度日。1589年其到肇慶訪友,聽說利瑪竇懂很多奇異之術,遂去拜訪,並決定師從利瑪竇。
  瞿太素的到來,一開始讓利瑪竇很高興。但後來其發現瞿太素的真正目的是想打探煉金術,而不是致力於基督教義,這讓利瑪竇很失望。於是,利瑪竇開始向瞿太素介紹西方科技,以期改變其想法。據利瑪竇的中國劄記記載:“在結識之初,翟太素並不泄露他的主要興趣是搞煉金術。有關神父們是用這種方法變出銀子來的謠言和信念仍在流傳著,但他們每天交往的結果倒使他放棄了這種邪術,而把他的天才用於嚴肅的和高尚的科學研究。他從研究算學開始,因洲人的算學要比中國的更簡單和更有條理。……他接著從事研習丁先生的地球儀和歐幾媦w的原理,即歐氏的第一書。……當他把這些注釋呈獻給他的有學識的官員朋友們時,他和他所歸功的老師都贏得普遍的、令人羡慕的聲譽。”這奡ㄗ鴘漱B先生的“歐氏第一書”即是克拉維烏斯的《幾何原本》第一卷。Clavius在漢語中有“釘子”的意思,因此,其早先被翻譯爲丁先生。
  由此可見,早在徐光啓翻譯《幾何原本》之前15年(這個時期是1592年)已經有人開始作這方面的嘗試了。這個急先鋒便是瞿太素。但是,顯然這次的翻譯不是利瑪竇主動和有意識的,是瞿太素爲自己學習的方便和顯示自己的才學翻譯的。翻譯的內容也僅是《幾何原本》第一卷。
  1598年6月利瑪竇晉京面聖,未果,次年返回南京。在南京期間,其廣交朋友,宣揚基督教,傳播西方天文學、地理學和數學等。由此,其名聲鵲起,被譽爲數學家和天文學家。由於這個原因,也由於當時瞿太素的誘發,向利瑪竇學習數學的人多起來。首先是當時著名學者李心齋的兒子,然後是他的兩個學生。再然後是當時的翰林王肯堂的學生張養默。
  對於張養默,利瑪竇的評價很高,他說:“(張養默)比其他兩個人都聰明。”他之所以被派來,原因是:“經過長時期的研究之後,他(王肯堂)沒有能發現任何明確的中國數學體系這樣的東西;他枉然試圖建立一個體系,作爲一種方法論的科學,但最後放棄了這種努力。於是他把他的學生派來,帶有一封給利瑪竇神父的推薦倍,請他收下這個學生代替他自己教導。”並且利瑪竇說:“這個學生性情有點傲慢,但不久就變得謙恭近人,他以畢達哥拉斯的一句格言“老師這樣說的’作爲座右銘。他無師自學了歐幾媦w的第一卷。他不斷向利馮安神父請教幾何學問題,當他的老師告訴他不要佔用別的學生的時間時,他就去工作和用中文印刷自己的教科書。在講授過程中,利瑪竇神父提到了傳播基督的律法,這個特殊學生告訴他說,與偶像崇拜者進行辯論純屬浪費時間,他認爲以教授數學來啓迪中國人就足以達到他的目的了。”由此可見,張養默是繼瞿太素之後學習歐幾媦w幾何的又一人,他也曾嘗試翻譯過《幾何原本》第一卷。但這同樣不是利瑪竇的意志,此時他甚至反對這種翻譯。

3. 爲研究科學正式翻譯
  1601年1月,利瑪竇再次晉京面聖,此次獲得成功,並且獲准在北京居住和傳教。1604年4月,徐光啓中進士。爲了獲得翰林院的職位,其決定留在北京參加每月一次連續兩年的考試。從此利瑪竇和徐光啓交往多起來。是年,利瑪竇出版了《二十五箴言》,再版了《天主實義》和《交友論》。1606年發表了《疇人十篇》。此時,徐光啓已跟利瑪竇學習西方科技多時,深感西方科技的精妙。於是向利瑪竇建議:“既然已經印刷了有關信仰和道德的書籍,現在他們就應該印行一些有關歐洲科學的書籍,引導人們做進一步的研究,內容要新奇而有證明。”這個建議被利瑪竇愉快的接受了.
  利瑪竇之所以當時能接受這個建議,經研究,主要有兩個原因。一是利瑪竇在經過了廣東出示地圖、星盤等科技器件,又經過了南京的西方科技口頭講解,到了北京已經很長時間再沒有給國人提供更新和更深入的西方科技知識了,這就造成了當時來拜望利瑪竇的人員遠不如從前。特別是那些士大夫階層的知識份子,他們在瞭解了利瑪竇以前所講的新知識後,不能進一步得到更新的,他們已開始變得消極。二是經過了一段時間的交往,利瑪竇發現徐光啓不同於其他的中國知識份子,他異常聰明,同時勤奮刻苦,積極上進。而這兩個原因中,第一個又是主要的。由此,利瑪竇決定翻譯西方文獻,直接的目的是宣揚西方科技。
  翻譯的事情決定了,他們遂即開始著手工作。工作之初,需要決定先翻譯什麽著作。此時利瑪竇指定《幾何原本》。之所以如此,據利瑪竇講是因爲:“中國人最喜歡的莫過於關於歐幾媦w的《幾何原本》一書。原因或許是沒有人比中國人更重視數學了,雖則他們的教學方法與我們的不同;他們提出了各種各樣的命題,卻都沒有證明。這樣一種體系的結果是任何人都可以在數學上隨意馳騁自己最狂延的想象力而不必提供確切的證明。歐幾媦w則與之相反,其中承認某種不同的東西;亦即,命題是依序提出的,而且如此確切地加以證明,即使最固執的人也無法否認它們。”
  起初因爲事務繁忙,徐光啓委派了一位朋友來幫助利瑪竇翻譯。這個朋友據德禮賢考證姓蔣,但名字無從證實。利瑪竇記錄的義大利文爲Ciangueinhi。他與徐光啓同年中舉,但並沒有得到很好職位。他住在教堂堙A一邊給龐迪我神父上中文課,一邊幫助利瑪竇翻譯《幾何原本》。但不久,利瑪竇發現他們之間的合作並不順利。於是向徐光啓反應,要求派一個好一點的幫手。利瑪竇說:“除非是有天分的學者,沒有人能承擔這項任務並堅持到底。”由此,徐光啓開始親自動手翻譯。據記載,從1606年9月到1607年5月,徐光啓每天下午都到利瑪竇的住所翻譯三、四個小時。
  他們起初的翻譯還比較順利,這是因爲他們是遵循了《幾何原本》原有的順序,一上來先翻譯定義、公理和公設,比較少的涉及定理的證明和推理等。並且,他們還有瞿太素和張養默早先翻譯的第一卷作參考。後面就比較困難了。這是因爲:一、利瑪竇熟悉《幾何原本》,但未必熟悉中文的表達和書寫;二、徐光啓儘管熟悉中文,但卻少有數學基礎。查徐光啓生平,在1606年之前,他學習過四書五經、兵書、農書和醫書等,但天文曆算方面的書卻未涉及過。所以這個時候,雙方不得不都十分努力。據載,此時他們曾多次向周圍的人請教。這些人中,有當時在北京的龐迪我神父和熊三拔神父,有常來探討學術和教義的楊廷筠、李之藻、葉向高、馮應京、曹于汴、趙可懷、祝宰伯、吳大參等人。特別是兩位神父,其始終在場。從這婸﹛A這部《幾何原本》的翻譯其實凝聚了很多人的工作,是多人合作的結果。
  道路雖然艱難,但最後他們還是走下來了。到了1607年春天,他們譯出了《幾何原本》前六卷。
  對於翻譯的成功,利瑪竇很高興。他高度讚揚了徐光啓,他說他聰明好學,經過了不長一段時間的學習,就能用清晰優美的中文來寫他所學到的一切東西了。徐光啓則高度評價了利瑪竇,說利瑪竇勤奮、認真,由此我也不敢怠慢等等。另外,利瑪竇也提到了我們的漢語,他說:“這堣]指出,中文當中並不缺乏成語和辭彙來恰當地表述我們所有的科學術語。”
  前六卷翻譯完成之後,徐光啓曾要求繼續翻譯,將後面的九卷也翻譯出來,但利瑪竇拒絕了。之所以如此,目前有多種說法。第一種說法是利瑪竇根本不想翻譯,其本質的目的是在中國傳教,非科學傳播。翻譯完了前六卷,其已感到沒必要再繼續下去了。第二種說法是後面的九卷涉及到了立體幾何和數論等知識,比較繁難了,所以就此罷手了。第三種說法是利瑪竇想停一下,先看看發行之後的效果如何,然後再翻譯後面的。第四種說法是利瑪竇根本不懂後面的內容,由此,他寧可轉向去翻譯《測量法義》,而決不再繼續了。
  以上四種理由似乎都有道理,特別是第四種。它是通過對照利瑪竇在羅馬學院的課程表和利瑪竇的學習情況得出得來。在當時的羅馬學院中,的確有《幾何原本》的學習計劃,但那是分兩次完成的,第一次在二年級,學習前六卷,第二次在最後年級,學習後九卷。可是利瑪竇急於到中國來傳教,沒有學習最後的課程就離開了。其後,利瑪竇忙於各種教務,再也沒有過學習後九卷的時間和機會。所以,其不熟悉後面的內容是很有可能的。
  儘管如此,利瑪竇對我國數學發展做出的貢獻還是很大的。他和徐光啓翻譯的《幾何原本》是第一個內容較多且正式的中文譯本,其簡練、準確、圖文並茂。梁啓超曾評價它爲:“字字精金美玉,是千古不朽的著作。”在這堨L們創造了許多數學概念,如點、線、面、平面、曲線、曲面、直角、鈍角、銳角、垂線、平行線、對角線、三角形、四邊形、多邊形、圓、圓心、平邊三角形(等邊三角形)、斜方形(菱形)、相似、外切、幾何等等。這些概念一直使用到今天。並且,其一改中國古代數學書籍編寫方式,引入了公理化方法,使用了證明等。這些做法,在當時産生了極大的影響,使得當時一大批學者傾服。明末名將孫元化(也是徐光啓的學生)在學習了《幾何原本》之後,連出《幾何體論》、《幾何用法》和《泰西算要》三本研究著作。到了清初,這類書就更多了,如1611年方中通出版了《幾何約》,1679年李子金出版了《幾何易簡錄》,1692年梅文鼎出版了《幾何通解》,1700年杜知耕出版了《幾何論約》等。

4. 爲推廣目的進行刻印
  《幾何原本》前六卷翻譯完畢,徐光啓知不能得立即得後面的內容了,遂即準備了刻印。首先其代利瑪竇撰寫了《幾何原本引》,以利瑪竇的口吻闡明了《幾何原本》的高明,讚揚了利瑪竇的老師克拉維烏斯神父的貢獻,講述了翻譯此書的緣由和過程等。然後,徐光啓有撰寫了《刻幾何原本序》和《幾何原本雜議》。在《刻幾何原本序》中徐光啓闡述了數學的重要性,指出了我國傳統數學流傳不再的遺憾,讚揚了歐氏幾何的作用之大,爲推廣算學,由此“偕二三同志刻而傳之”。在《幾何原本雜議》中,其細說了自己學習《幾何原本》的體會,說《幾何原本》有四不必疑和三至三能,是“金針度去從君用,未把鴛鴦繡於人”等。隨後付梓,刻印了第一版。
  接著,徐光啓的父親在京去世,徐光啓遂即扶柩歸葬返回了上海。1610年4月,利瑪竇去世。同年秋天徐光啓又回到了北京。越明年夏,京城大雨多日,徐光啓在家閒置,與龐迪我和熊三拔二人將前譯《幾何原本》重新審閱一遍,增訂修補多處,作《跋幾何原本》後,再次出版。在《跋幾何原本》中,徐光啓回顧了翻譯的過程,並感慨地說:“績成大業,未知何日?未知何人?書以俟焉。”渴望再次翻譯後九卷的心情溢於言表。自此,《幾何原本》在國內流傳起來。

5. 結束語
  《幾何原本》是古代西方數學之經典,它被翻譯成中文,是一個在特定的年代發生的特殊事件。它翻譯成中文的過程既有磨磨蹭蹭的階段,也有急速前進的階段;既有順利的時候,也有步履艱難的時刻,決不是一帆風順的。其中主要是利瑪竇和徐光啓翻譯的,但也有其他一些人的參與。特別是前面的瞿太素和張養默。是他們首先開始翻譯了第一卷。我們知道第一卷中包含了很多幾何概念。是不是他們首先給出了這些概念的中文名稱呢?他們又是如何給出的呢?這是個值得進一步研究的問題。

參考資料

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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30

[分享]利瑪竇中止翻譯《幾何原本》的原因

J+W 於 星期四 十二月 23, 2004 12:32 pm


利瑪竇中止翻譯《幾何原本》的原因
楊澤忠(上海交通大學科學史系 200030)
 
文章摘要:利瑪竇和徐光啓翻譯《幾何原本》只完成了前六卷,之所以如此,有人認爲是利瑪竇不懂立體幾何,無法進行後面的翻譯工作。此觀點通過分析利瑪竇當年在羅馬學院的學習經歷,實際上是站不住腳的。利瑪竇和徐光啓之所以沒有繼續後面的工作,實屬無奈。
關鍵字:幾何原本 翻譯 利瑪竇 徐光啓


一、問題由來
  菮狻P知,《幾何原本》是古代西方數學的經典之作,它對於世界數學的發展影響巨大。明朝末年,利瑪竇將《幾何原本》帶入中國,稍後其與徐光啓合作將它翻譯成了中文。可是,他們只是翻譯了前六卷,後面還有九卷沒有翻譯。據載,當時徐光啓是積極要求翻譯完畢的,可是利瑪竇拒絕了。什麽原因呢?兩個人都沒有詳細說明,因此,這成了一個令人費解的問題。
  後人在學習這本不完整的《幾何原本》時,根據自己的體會提出了多種說法,如神秘說、壟斷說、誘餌說等,這些說法基本都是憑空猜測,不足爲信,前人也多批判過。倒是目前流行的“利瑪竇不懂立體幾何”說讓人爲之一振,感覺頗有些新意。
  這種說法認爲,利瑪竇在羅馬學院只是學習了《幾何原本》的前六卷,即平面幾何部分。爲了來中國傳教,其提前離開了大學,所以沒有學習後面的內容,即立體幾何部分。後來他又忙於傳教事務,無暇兼顧學習數學,所以其掌握的歐氏幾何僅限於平面幾何,他不懂立體幾何。〔1〕
  這的確是個有意思的問題,但是可靠嗎?值得商榷。


二、利瑪竇的歐氏幾何學習分析
  上述觀點的根據主要來源於利瑪竇的大學學習情況,認爲利瑪竇在大學期間沒有學過《幾何原本》後九卷,所以不懂立體幾何,那麽我們就來回顧一下利瑪竇的大學學習。
  據載,利瑪竇從小就有志於神學,1569年他17歲的時候就參加了聖母報喜團。1572年9月15日初宣三誓,17日進入教會辦的大學羅馬學院學習。〔2〕
  當時利瑪竇學習的課程是由法國著名的學者納達爾(P.Nadal)制定的〔3〕。它規定,大學學制5年。而這5年又分兩部分,一部分是修辭學習年,兩年;一部分是哲學學習年,三年。利瑪竇入校先學習的是修辭。當時他的老師是歐洲著名的學者貝拉明(R.C.Bellarmine)。然後他又學習了哲學。
  按照納達爾的設定,哲學第一年的內容是:《幾何原本》、應用數學和天文學原理。哲學第二年的內容是:音樂、透視學和測量學。第三年的內容是:天文學。可是到了利瑪竇讀書時,上述設定有所改動。即是:哲學第一年不再學數學,數學從第二年開始。具體安排是:《幾何原本》前四卷四個月,應用數學一個半月,天文學兩個半月,剩下的時間學習《幾何原本》第五、六卷。第三年,星盤兩個月,行星原理四個月,透視學三個月,剩餘的時間討論《幾何原本》後九卷和學習教會曆等。
  由這份課程表可以看出,利瑪竇是學習過立體幾何的,即使是算上他傳教心切,於1572年5月18日提前離開了學院這一因素,我們也不能否定他不熟悉立體幾何。
  首先,他提前離開的時間不長,只有三個月。在他離開學院之前,關於《幾何原本》後九卷的討論課已經開始,利瑪竇必定學習了部分內容。另外,《幾何原本》後九卷主要是立體幾何、數論和方程等內容,遠比前面幾卷的內容多。這樣爲了讓學員能夠掌握這些內容,這個討論班很有可能安排的密度比較大,也很有可能是先從與前面知識相關的內容開始的,這樣算來,利瑪竇在這個討論班上得到的立體幾何內容應當不會少。
  其次,據載,利瑪竇在大學學習期間非常刻苦。他不僅認真學習了當時規定的各門課程,而且還自己製作了不少與數學有關的天文儀器。他常和他的老師克拉維烏斯(P.Clavius)神父來往。克拉維烏斯神父也非常欣賞這個聰慧的學生。課餘時間克拉維烏斯給予了利瑪竇很多其他方面的指導,比如星盤的製作、透視法、地理學和天文學等〔4〕。而這些知識都是需要立體幾何知識的。所以,即使利瑪竇不能在課堂上學習立體幾何知識,那在課外也一定學會了很多。
  還有,我們也可以從利瑪竇來中國的活動中也可以找到一些證據。
  一、利瑪竇從1583年7月來中國後曾進行過多次天文地理活動,如繪製地圖、測量經緯度、證明太陽大於地球、地球大於月亮等。而這些都是需要精深的立體幾何知識做支撐的。
  二、1600年5月來利瑪竇到了北京,爲了向人們宣傳天圓地圓思想,他撰寫了介紹西方天文學原理的天文名著《乾坤體義》。這部書的第三卷名稱爲《圓容較義》(1614年李之藻刻於北京),主要講述圓內接正多邊形和球內接正多面體的性質等。在這堨L利用綜合幾何的方法正確地證明了“表面積一定,球的體積最大”這一在當時有相當難度的立體幾何命題。〔5〕
  三、1596年11月,利瑪竇收到了他的老師克拉維烏斯神父新出版的著作《論星盤》(Asrtolabium,1593)。隨後進行了認真學習。1600年下半年結識李之藻之後,隨爲李之藻進行了講解。不久他們就合作節譯了其中的部分內容,出版了《渾蓋通憲圖說》一書。這本書主要介紹的是星盤的製作方法,其中爲了說明天球上各種圓的投影性質和畫法,提及了很多立體幾何的知識,特別是關於球的知識。〔6〕
  所以,可以肯定地說,利瑪竇是懂立體幾何知識的。認爲利瑪竇不懂立體幾何的說法是站不住腳的。


三、利瑪竇和徐光啓停止翻譯的根本原因
  利瑪竇不懂立體幾何的說法是不成立的,那到底是什麽因素影響了翻譯的繼續進行呢?我們認爲這要從當時的《幾何原本》翻譯過程來看。
  據載,利瑪竇和徐光啓翻譯《幾何原本》開始於1606年的秋天。當時,徐光啓考中了進士(1604年),正參加每月一次的點翰林考試。並且,由於前幾次他都考的很好,能進翰林院是肯定的了,後面他常請假而不去參加考試,所以,這段時間比較空閒〔7〕。而利瑪竇在8月17日也終於搬進了比較理想的大房子。這樣兩個人有時間有空間了,就爲翻譯《幾何原本》打下了基礎。
  當時徐光啓每天都到利瑪竇的住所去,一去就工作三、四個小時。根據有關資料,他們的翻譯過程,起初還比較順利,因爲有以前瞿太素和張養默翻譯的《幾何原本》第一卷作參考〔8〕。可後來就逐漸困難起來了。這有兩方面的原因:一、利瑪竇熟悉《幾何原本》,但不太熟悉中文表達和書寫;二、徐光啓儘管熟悉中文,卻少有數學基礎。徐光啓在這之前,學習過四書五經、兵書、農書和醫書等內容,但天文曆算方面的書卻未涉及過。所以這個時候,雙方都很吃力。他們不得不向周圍的人請教。這些人中,有當時在北京的龐迪我神父和熊三拔神父,有常來探討學術和教義的楊廷筠、李之藻、葉向高、馮應京、曹于汴、趙可懷、祝宰伯、吳大參等人。特別是兩位神父,其始終在場。從這個角度來說,其實翻譯《幾何原本》是集體的功勞。
  儘管吃力,但到了1607年5月下旬,他們還是順利地翻譯完了前六卷,也就是歐氏幾何的平面幾何部分。並且這個時候,他們已經變得熟練起來。利瑪竇曾說過:經過了不長一段時間的學習,徐光啓就能用清晰優美的中文來寫他所學到的一切東西了〔9〕。但在此時卻發生了一件意想不到的事情,就是徐光啓的父親不幸去世了。徐父去世的準確日子是5月23日。當時徐光啓儘管已經入教,但作爲一名一直在傳統文化熏陶下成長起來的封建時代的知識份子,他還做不到那麽超脫,所以,他不得不開始忙於一系列繁雜的喪事。喪事差不多了,到了8月初,徐光啓請了假,便扶柩回了上海。這一去就是三年〔10〕。
  此時利瑪竇一直在北京,中間的確爲《幾何原本》的事情他們曾經聯繫過一次,但那次主要是讓徐光啓想辦法在南方刊印。此後,他們再沒聯繫。三年後,即1610年5月11日,利瑪竇去世了。而徐光啓到了12月15日才回到北京。此時利瑪竇已於11月1日下葬。所以他們從1607年8月之後,再也未曾謀過面。
  由此,我們完全可以看出來,其實利瑪竇和徐光啓翻譯《幾何原本》是一個很巧的事件。當時兩個人恰好都有時間和空間,也都互相欣賞,可謂天時、地理、人和三者具備。說利瑪竇拒絕了徐光啓實際上是沒有的事。之所以中斷這個過程,完全是意外事件造成的。若不是徐父的去世,也許他們還能繼續下去。
  在《幾何原本引》中,儘管有利瑪竇表示停止的記載:“太史意方銳,欲競之,餘曰止,請先傳此,使同志者習之,果以爲用也,而後徐計其餘。”但要知道,這個引言是徐光啓代利瑪竇以利瑪竇的口味寫的〔11〕。所以,利瑪竇主動請止的話就十分可疑了。
  如果說利瑪竇真的是當時拒絕了徐光啓,那也只能是擔心後面的翻譯太困難了,會花費很多時間,從而耽擱利瑪竇的傳教事務。可當時他們已經明顯的配合比較默契了,徐光啓掌握了不少平面幾何知識,翻譯也快起來了,利瑪竇怎麽會憑空擔心後面的困難呢?所以這又是自相矛盾的。


四、結束語
  利瑪竇和徐光啓將《幾何原本》前六卷翻譯成了中文,極大地促進了我國數學後來的發展。當時他們沒有繼續翻譯,其實完全是個意外,雙方都沒有責任。如果不是徐父去世,倒真有可能他們繼續翻譯下去。因爲,當時徐光啓已經被任命翰林院檢討,不再考試。並且這個檢討也沒什麽具體的事務,只是辦些臨時的差事而已,徐光啓有時間。同時利瑪竇當時也不很忙,也有時間。因此,說利瑪竇拒絕了徐光啓的要求,其實是不存在的事情。猜測利瑪竇不懂立體幾何知識,更是毫無道理的。


參考文獻

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The Reason that Matteo Ricci Stopt Translating Elements
Yang Ze zhong
(Dept.of Science History,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200030;Dept.of Mathematics,Shandong Normal University,Jinan250014)

Abstract:Matteo Ricci and Xu Guang qi both just translated 6 volumes of Elements,9 volumes left. Someone thinks the reason is Matteo Ricci can not understand Soild Geometry。Through studying the courses of Matteo Ricci we can know In fact this view is not right。The real reason that they stopt that work just is they met accident then。
Key words:elements Translation Matteo Ricci Xu Guang qi

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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30

J+W 於 星期四 十二月 23, 2004 12:34 pm



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J+W 於 星期四 十二月 23, 2004 12:36 pm


載《科學技術與辯證法》2004年第5期
 
利瑪竇與西方投影幾何之東來楊澤忠 (上海交通大學人文學院,上海 200030)
 
文章摘要:明朝末年,義大利著名傳教士利瑪竇來到我國,不僅帶來了很多歐氏幾何,而且也帶來了一些非歐氏幾何,如投影幾何。關於投影幾何,他帶來的有橢圓投影、球極投影、平行正投影和透視法等。他給國人介紹了其中的概念、原理和性質,而且還分別說明了他們的應用等。這大大豐富了我國數學的研究,爲當時大批的西方科技傳入我國打下了堅實的基礎。
關鍵字:利瑪竇;球極投影;投影幾何;透視法

一、引言
  投影幾何是現代數學中的一個重要分支,它專門研究空間物體在投影變換下的幾何性質,在天文學、地理學、建築學、電腦類比、土木工程、繪畫等很多學科中都有著廣泛的應用。投影幾何在古代東西方都有,但相比之下,西方的更爲詳細和科學,由此,元、明時期西方投影幾何開始傳入我國。特別是在明朝末年。當時大批西方傳教士來到中國,不僅帶來了西方宗教和科技,而且也帶來了大量的與之有密切關係的投影幾何知識。比較多的西方投影幾何知識正是在這個時期才開始進入我國的。此時,當然有不少人都爲之作出了貢獻,如利瑪竇、李之藻、熊三拔、徐光啓、羅雅谷、湯若望、梅文鼎、年希堯等。特別是利瑪竇。其是第一個來到中國內陸,第一個開始給國人介紹西方投影幾何的。他介紹的投影幾何不僅內容多樣、清晰正確,而且還實用,這爲當時大量的西方科技在中國傳播打下了堅實的基礎。從某種意義上講,利瑪竇在這方面做出的貢獻完全可以和他傳入歐幾媦w幾何所做出的貢獻相媲美。但這件事情長時間以來一直未被人們重視。本文擬就利瑪竇對於傳入投影幾何所做的貢獻作一論述。

二、利瑪竇帶來了多種西方投影理論,爲國人廣泛的學習投影幾何打下了基礎
  利瑪竇1583年9月10日來到中國大陸,之後,爲了吸引民菻霽郃銊繴教,他給國人公開展示了多種從西方帶來的物件,如地圖、星盤、日晷、聖母像、三棱鏡等。關於地圖,是其最早展示的一種物件。第一次展出是在1584年4月仙花寺建成之後,在其新教堂堙C這次展示的地圖現在有人進行了考證,證明其是於1546年在羅馬刊行又於1570年被奧特奡窗]Abraham Ortelius)仿造的一幅,是當時歐洲比較流行的一種〔1〕。這幅地圖後來被當時的知俯王泮看到了,他對於此圖的精美感到非常震驚,遂令利瑪竇翻刻。利瑪竇將原來的地圖稍進行了改造,將中國由邊緣地帶轉移到了地圖的中心,於1584年11月翻刻並印製成功,這就是有名的“山海輿地圖”。之後不久,也就是同年同月的30日,利瑪竇向羅馬耶穌會總監回報了這幅地圖,他說:“西式繪製,用華名、華里、華辰計算的世界地圖一幅,這圖是肇慶長官授命利瑪竇編制的,剛完成,便命去刊印了。”〔2〕由這兩處文獻,我們可知利瑪竇帶來了在當時西方流行的橢圓投影。
  關於地圖的繪製,中國古代一直採用的是“計媯e方”的方法,從未使用過球形投影,這可能與中國古代一直以爲的“天圓地方”有直接關係。而歐洲就不一樣了。從古希臘時期,人們就意識到了大地是球形的,繪製地圖的時候爲了準確起見,最好採用球形投影。西方人繪製地圖最早多採用西元二世紀托勒玫給出的球極投影或是圓錐投影,到了文藝復興時期,隨著人們航海的需要和視野的開闊,此方法逐漸改進,出現了極球投影、赤道球面投影、水平面投影、墨卡托圓柱投影等。1528年彭德尼(Benedetoo Bordone,1460-1539)發明了橢圓投影,引起了很大的反響,因爲這種投影既美觀、大方又不失準確性。由此,在繪製世界地圖的時候廣泛被人模仿。1570年奧特奡腕蜓s的世界地圖Typus orbis terrarum,正是採用了這種投影――這還被認爲是最有藝術性的樣例〔3〕。利瑪竇的“山海輿地圖”既然是根據奧特奡答漸@界地圖繪製的,那麽,其採用的也應當是橢圓投影。此外,這一結果也可以利用其他的資料來印證。1602年利瑪竇在北京協助李之藻繪製了“坤輿萬國全圖”。此圖流傳很廣,至今還能看到〔4〕。筆者對其保留在南京的一幅的投影進行了細緻的測算,發現其確系採用的是橢圓投影。
  在利瑪竇的中國劄記中除了地圖,提到比較多的還有星盤。星盤是利瑪竇來到中國大陸後進行計時和天文測量的主要工具,因而其時時攜帶著它,也經常向他周圍的人展示。周圍的人對其感到非常好奇,爲此利瑪竇還曾經親自製作過它當做禮品送給一些高官,如趙可懷等。1607年在北京,利瑪竇和李之藻還就此寫成了一本書《渾蓋通憲圖說》。由這,我們可知道利瑪竇也帶來了西方的球極投影。
  星盤是古希臘時期産生的一種天文儀器。據說其創始人是西元二世紀的托勒玫,因爲在托勒玫的書中曾有類似的描述,並且托勒玫明確給出了製作星盤的數學基礎——球極投影。星盤在中世紀傳入伊斯蘭世界。伊斯蘭人爲了準確的掌握祈禱的方位和時間,製作了大量的精美的星盤,從而將這種工具完好的保留到了文藝復興時期。文藝復興時期,航海探險之風盛行,因而作爲能在晚間也能計時和確定方位的星盤又一次受到廣泛的重視。人們不僅給它增加了很多附件,使其能在不同的地區也可以準確的使用,而且還在托勒玫給出的球極投影基礎上給它建立了數學體系,使之成了一種滿載數學理論的計算工具。因此,星盤在文藝復興時期被稱爲是“數學之寶”〔5〕。利瑪竇在中國使用的那副星盤,據裴化行考證正是從歐洲帶來的,平面式,它的設計者還是利瑪竇在羅馬學院時期的老師,當時歐洲著名的數學家和天文學家也是星盤專家克拉維烏斯神父。他說:“克拉維烏斯神父設計的星盤是‘平面回盤’(planisphsere,即步天規),即在一個圓盤圓周上刻有度數,並裝有一個可以旋轉的照準儀,這樣就能觀察天空的不同位置。克拉維烏斯的步天規的最大特點是蛛網式的,即通過盤中各種曲線,指示出天球投影在赤道平面上的緯度。這樣既有一般星盤的作用,又有渾儀的功用”〔6〕。所以,利瑪竇也從歐洲帶來了球極投影無疑。
  對於《渾蓋通憲圖說》,其實際上是克拉維烏斯於1593年出版的專門討論星盤中數學原理的《論星盤》節譯本〔7〕。這本書中包含了大量的球極投影的知識。不僅球極投影原理,即如何進行投影的說法,而且還有萓h球極投影性質。如“球形投影下,球面上平行於投影面(赤道面)的圓都是同心圓,不過距離南極近的圓投影較大,距離北極近的圓投影較小。”如“球形投影下,球面上不平行於投影面(赤道面)的圓的投影也都是圓。”“球形投影下,球面上的弧線的投影仍是弧線,點和曲線的結合關係不變。”“球形投影下,球面上等距平行於投影面的圓的投影不距等,靠近南極的兩個圓的投影的距離大於靠近北極的兩個圓的投影的距離。”“球形投影下,在球面上相交的兩個圓,它們的投影也相交。”等。不僅有投影的性質,而且還有投影的具體做法,如天頂規的做法是:“既得天頂,則自天頂以對地心有一規,總爲天頂規。此規上下過天地之中,東西交赤道卯酉之中。辯方正位,於是乎取其法自赤道規,酉中起數地方赤道出地度,或自子中起數北極出地之度,其法皆同,但數一處刻界。自酉中按界作弦長出,求其交子中線處,即是地下對對頂中際。從此上望天頂,折半求中以是爲樞,旋而規之則成天頂規。”如地平規漸升圈的做法是:“凡求(地平規)漸升度,以前圖南北極軸線爲界,去界北不用,自界而南,以半規均分百八十度或兼二度,則分作九十兼五度,則分作三十六中定赤道軸線以求天頂,次自北極左行第一度望酉中畫一弦,又自南極右行第一度望酉中畫一弦。二弦皆過盤中子午線,而取子午線上所得之界,上下折半爲樞,旋規是爲漸升第一規,當爲出地之第一度。餘自二度至九十度亦如之。”另外,還給出了這些做法的原理: “原所以取赤道卯酉爲准者,蓋赤道紘天地之中,卯酉又分赤道之中,借卯酉以爲地心,因望地心以求天頂。儀體雖平,其用則圓,而其經緯從衡之秒全在赤道一規。平視之而分子午卯酉,側視之而寄南北二極。二極結子午之正,寄二極於赤道者,借赤道之規爲子午規者也。後凡地盤度皆自赤道爲准。”〔8〕由此看出,利瑪竇還將大量的球極投影理論知識也傳入了中國。
  在利瑪竇給國人展示的物品中,也多次提到西方繪畫,如聖母像、耶穌像等。這些繪畫,有的是從印度、澳門、日本等外面經教友轉來的,也有是利瑪竇自己繪製的。如1602年利瑪竇奉中國皇帝的命令,耗時兩三天繪製成的“西方宮廷生活圖”是一幅〔9〕,還有利瑪竇晚年繪製的“野墅平林圖”也是一幅〔10〕。利瑪竇採用的什麽方法畫這些畫呢?雖沒有文字記錄,但可以從其他地方找到證據。從現存於遼寧省博物館的“野墅平林圖”中我們可以看出,其不是中國式的寫意畫法――雖然入畫內容是山水。其遠近分明,明暗比例協調,滅點固定,視野開闊,顯然是採用了西方透視畫法。還有,利瑪竇在1601年將聖母像獻給皇帝之前,曾給很多人展示過,在展示的時候,還對比中國畫進行了講解,他曾說:“中國畫但畫陽不畫陰,故看之人面軀正平,無凹凸相,吾國之畫兼陰與陽寫之,故面有高下,而手臂皆輪圓耳。凡人之面正迎陽,則明而白,若則立,則向明一邊者白,其不向明一邊者眼耳鼻口凹處,皆有暗相。吾國之寫像者,解此法用之,故能使畫像與生人亡異也。”〔11〕在《譯幾何原本引》中他又曾說:“察目視勢,以遠近正邪高下之差,照物狀可畫立圓、立方之度數於平版之上,可遠測物度及真形。畫小,使目視大,畫近,使目視遠,畫圓,視目視球,畫像,有坳凸,畫室,有明暗也。”〔12〕還有,在利瑪竇學習過的羅馬學院的課程表中明確標有:透視學,學習三個月。〔13〕由此,利瑪竇懂得當時在歐洲興起的透視畫法,瞭解其中的數學投影原理,也將它們帶到了中國。
  此外還有日晷。在利瑪竇日常活動中,也曾多次提到過日晷。如在肇慶他曾指導瞿太素製造日晷,在南京曾輔導張養默製造日晷等。日晷作爲一種古老的利用太陽來計時的儀器,東西方都有,但各有所長。東方的多是赤道日晷,沒有投影理論在堶情C而西方的多是地平日晷,其以西方古代天文學基本構架爲基礎,大量地使用了球面投影理論和方法。西方繪製日晷的方法叫做“Analemma法”。關於這種方法,古希臘有兩部書進行了介紹,一部是西元前一世紀亞歷山大堥的狄奧多努斯(Diodorus)寫的,另一本是西元二世紀的天文學家托勒玫寫的,書目都叫Analemma。狄奧多努斯的書已失傳。現根據托勒玫的書我們可以知道這種方法實際上是一種球面平行正投影,借助這種投影可以將赤道座標很容易的換算成黃道座標,反之依然。〔14〕利瑪竇帶來的日晷不同於中國式的,通過其對日晷的描述我們可考證一定是地平日晷〔15〕。另外,在“坤輿萬國全圖”的一個小圖下面他還曾提到Analemma,他說:“右圖乃黃赤二道錯行中氣之界限也。凡算太陽出入皆准此。其法以中橫線爲地平,直線爲天頂,中圈爲地體,外大圈爲周天。以周天分三百六十度。假如是圖在京師地方,北極出地平線上四十度,則赤道離天頂南亦四十度矣。 然後自赤道數起,南北各以二十三度半爲界,最南爲冬至,最北爲夏至。凡太陽所行不出此界之外,既定冬、夏至界,即可求十二宮之中氣。先從冬夏 二至界相望畫一線,次於線中十字處爲心,盡邊各作一小圈,名黃道圈。圈上勻分二十四分,兩兩相對作虛線,各識于周天圈上。在赤道上者,即春秋 分;次北曰穀雨、處暑,曰小滿、大暑,曰夏至;次南曰霜降、雨水,曰小 雪、大寒,曰冬至。因圖小,止載中氣,其餘節氣倣此。就中再勻分一倍, 即得之矣。而其日影之射於地者,則取周天所識,上下相對,透地心斜畫之。 太陽所離赤道緯度,所以隨節氣分遠近者,此可略見。凡作日晷帶節氣者, 皆以此爲提綱,歐邏巴人名爲‘曷捺楞馬’雲”。“曷捺楞馬”系“Analemma”的音譯〔14〕。由此看出,利瑪竇還從西方帶來了球面平行正投影。
  總之,利瑪竇確系帶到中國來很多的投影知識,不僅有橢圓投影、球極投影、球面平行投影,而且還有透視法等,不僅有投影原理,而且還有投影的性質命題和繪製方法等知識。這大大豐富了當時的數學研究,爲國人順利地接受西方知識打下了基礎,也爲我國數學的迅速發展爭取早些與西方數學會同鋪平了道路。

三、利瑪竇給國人廣泛講授了投影幾何知識,並指導了投影幾何知識的具體應用
  利瑪竇來中國的目的是傳教,爲此他廣交各階層的人士,與他們談天論道、交流感情等。而當時的國人,特別是一些知識階層的人士,驚詫于其才能和所擁有的西方科技,也願意與之友好。這樣形成了一種利瑪竇到到處受歡迎,很多地方都有其學生的局面——儘管明確承認是利瑪竇學生的人並不多。利瑪竇第一個正式的學生是蘇州人瞿太素。瞿太素又名瞿汝夔,是明朝末年禮部尚書瞿景淳的二兒子。1589年其將全部家產都投入到了煉金的火爐中使之灰飛煙滅之後,來到了廣東肇慶。此間其聽說這堥茩茼雓v神父,博學多才,甚至還會利用魔法煉金,遂於8月來到利瑪竇住處,拜利瑪竇爲師學習西方文化〔16〕。對於這個學生,利瑪竇非常喜歡,這不僅僅是因爲瞿太素給利瑪竇出了很多好主意,幫助利瑪竇順利地打開了當地的傳教局面,而且還由於瞿太素很聰明,很多東西一點就通。由此,利瑪竇開始教瞿太素一些難的知識。這些知識中就有投影幾何知識。在中國劄記中利瑪竇說:“他(瞿太素)接著從事研習丁先生的地球儀和歐幾媦w的原理,即歐氏的第一書。然後他學習繪製各種日晷圖案,準確地表示時辰,並用幾何法則測量物體的高度。我們已經說過,他很有知識並長於寫作。他運用所學到的知識寫出一系列精細的注釋,當他把這些注釋呈獻給他的有學識酌官員朋友們肘,他和他所歸功的老師都贏得普遍的、令人豔羨的聲譽。他所學到的新鮮東西使中國人大惑不解。他們認爲他不能靠自己的研究獲得它。他日以繼夜地從事工作,用圖表來裝點他的手稿,那些圖表可以與最佳酌歐洲工藝相媲美。他還爲自己製作科學儀器,諸如天球儀、星盤、象限儀、羅盤、日晷及其他這類器械,製作精巧,裝飾美觀他製造用的材料,正如他的手藝一樣,各不相同。”〔17〕從這塈畯怚i以看出,利瑪竇教給了瞿太素很多投影知識,如關於日晷的和星盤的等,不僅如此,他還教會了瞿太素如何使用它們。
  再一個有記錄的跟利瑪竇學習過投影知識的是南京的張養默。張養默的生平無從考評,只知道他是當時南京附近著名的學者和醫生王肯堂的學生。利瑪竇在南京時,他帶著王肯堂的信拜在利瑪竇的門下。利瑪竇對張養默的到來很高興,因爲張養默也很聰明。利瑪竇說:“他比其他兩個人(李心齋的兒子和學生)都聰明。……他無師自通學習了歐幾媦w的第一卷”〔17〕。由此利瑪竇開始給張養默講一些西方的天文知識。和利瑪竇同時代的艾儒略在《大西西泰利先生形晼n中曾提及張養默,他說:“就利子學業。……厥後張子於渾位度數之學,即有通曉云云。”還有,據利瑪竇講,他曾幫助利瑪竇在南京製作天文儀器,其中包括日晷和星盤等〔17〕。因此,利瑪竇與其講授過天文球形投影知識是肯定的。
  利瑪竇在南京其間,也很有可能給王肯堂介紹過投影知識。這可以從如下情況來推測:一、王肯堂和利瑪竇很熟悉,常在一起談天論道。二、在王肯堂編纂的《鬱岡齋筆麈》第三冊中,出現了西方天文學的內容,如第一題是“照視皆直線”,第二題是“圓尖之體其底必大”,第三題是“光體大物體小必照大半其黑影必尖”等〔18〕。這是中國古代沒有的知識,但卻是準確的理解投影原理必須先知道的。這些內容在利瑪竇後來的《乾坤體義》中占了很大的篇幅。
  1601年利瑪竇到了北京之後,跟利瑪竇學習的人更多了。這其中名氣最大的當屬李之藻和徐光啓。李之藻,字振之,號我存,杭州人。1598年中進士,官居工部侍郎。史載,李之藻聰慧異常,人稱“江南才子”。徐光啓曾贊他爲“卓犖通人”,利瑪竇也曾說:“自吾抵上國,所見聰明了達,唯李振之、徐子先二人耳”〔19〕。李之藻於1601年認識了利瑪竇,因羡慕其繪製的地圖遂與之交往,學習西方科技。李之藻跟利瑪竇首先學習的是地圖製作〔20〕。這項學習看來進行的很順利,因爲,在第二年他就將利瑪竇在廣東繪製的“山海輿地圖”改版擴成六幅刊印了,這就是“坤輿萬國全圖”。由前面的內容可知,李之藻一定從中學會了橢圓投影。
  之後,李之藻開始跟利瑪竇學習其他的科學知識。對此,利瑪竇曾說:“李良(李之藻)對數學的其他部門也感興趣,他全力以赴協助製作各種數學器具。他掌握了丁先生所寫的幾何學教科書的大部分內容,學會了使用星盤,並爲自己製作了一具,它運轉得極其精確。接著,他對兩門科學寫出了一份正確而且清晰的闡述。他的數學圖形可以和任何歐洲所繪的相匹敵。他論星盤的著作分兩卷出版。利瑪竇神父把一份送給了羅馬的耶穌會會長神父,作爲中國人完成的第一部這類著作的一個樣本,另一份送給了丁先生,因爲他本人曾一度從丁先生受教。”〔21〕這奡ㄗ鴘滿局袢菗P盤的書”即是《渾蓋通憲圖說》。在這本書的序言中,李之藻說:“昔從京師識利先生,歐邏巴人也。示我平儀,其制約渾,爲之刻畫重固,上天下地,周羅星程,背結規筒貌則蓋天,而其度仍從渾出。取中央爲北權,合《素問》中北外南之觀;列三規爲歲候,邃義和侯星寅日之旨,得未曾有,耳受手書,頗亦鏡其大凡。旋奉使閩之命,往返萬里,測驗無爽,不揣爲之圖說,間亦出其鄙謝,會通一二,以革中曆。”〔22〕由此可見,利瑪竇給李之藻講解了球極投影,並教會了他星盤的製作和使用方法。
  李之藻於1608年又寫成《圓容較義》一書,在此書的序言中他又說:“昔從利公研窮天體,因論圓容,拈出一義。次爲五界十八題,借平面以推立圓,設角形以微渾體,探原循委,辨解九連之環。舉一該三,光映萬川之月。測圓者,測此者也。割圓者,割此者也。無當於曆,曆稽度數之容。無當於律,律窮果黍之容。存是論也,庸謂迂乎?”〔23〕由此可再次印證利瑪竇曾教授李之藻天文投影之事實。
  李之藻之後,利瑪竇的又一個著名的學生是徐光啓。徐光啓,字子先,上海吳淞人,1604年中進士,官居文淵閣大學士。和徐光啓的結識可以說是利瑪竇在華的活動中最爲得意的,利瑪竇在不同的場合多次高度讚揚過徐光啓。利瑪竇讚揚徐光啓,不僅有其對基督教的熱誠,有對利瑪竇的幫助,更有他的才華出菕B學習刻苦和做事認真。這在很多文獻中都可以見到,此不贅述。
  關於利瑪竇給徐光啓講授投影原理的事實,我們可以從他和熊三拔合譯的《簡評儀說》的序言中看到。簡平儀也是星盤,是一種比較簡單的變形體。這本書主要是講授了簡平儀的各種用法。在這堮}光啓說:“其最小者是儀,爲有綱熊先生所手創,以呈利先生。利先生嘉欽。偶爲余解其凡因,手受之,草次成章,未其詳其所謂故也。若其言革也,抑亦丈豹之一斑矣”〔24〕。另外,據載徐光啓還曾著有《平渾圖說》、《日晷圖說》和《夜晷圖說》三部書〔25〕。可惜已經遺失,如果能找到,也許我們能瞭解的還會多。
  國人中除了跟利瑪竇學習西方數學和天文學的之外,也有學習西方繪畫的,這其中最有名的是遊文輝。遊文輝,字含樸,澳門人。1575年生人,1593到1598到日本接受基督教訓練,之後回國追隨利瑪竇。其間因爲他酷愛繪畫並曾在日本初步學習過,所以其主要是跟利瑪竇學習繪畫和從事繪畫活動。〔26〕遊文輝作爲一個西畫的初學者留下來的作品並不多,目前最常見的是1610年利瑪竇去世之後他繪製的利瑪竇畫像。“這是一幅標準的西方肖像畫,構圖既飽滿又簡練,顯示出相當的藝術概括能力。……該畫對明暗的處理也很有特色,光線從畫面左上方射去,在眼眶、鼻梁、面頰的暗面投下了豐富的陰影,尤其在白色衣領上的投影可以明顯感受到強烈的光源。……17世紀的中國人能將油畫肖像繪至這樣的水平,的確是件非常不容易的事情。”〔27〕從此看出,遊文輝熟悉西方繪畫的原理,利瑪竇一定給他講解過其中的數學理論即當時在西方流行的透視法。

四、結束語
  根據相關資料,西方投影幾何知識從元朝開始傳入我國,元朝的劄馬魯丁和郭守敬是最早的實踐者〔28〕。但他們的理論沒有完好的保留下來,到了明末基本上已無人知曉。所以,明朝末年,利瑪竇攜投影理論東來仍具有十足的開拓性;另外,從現有的資料來看,劄馬魯丁和郭守敬傳入的西方投影似乎僅限於球極投影這一項內容,遠沒有利瑪竇帶來的多。利瑪竇帶來的投影幾何知識不僅有球極投影,而且還有橢圓投影、曷捺楞馬、透視法等,不僅有概念和性質命題,而且還有它們的具體畫法。由此,利瑪竇介紹給國人的西方投影幾何在內容上遠超出前人;第三,利瑪竇將這麽多的投影幾何知識帶到了中國,並沒有保守,而是給國人進行了積極講解,這爲國人全面接受和深入學習西方科技打下了很好的基礎。正是由於他的廣泛傳播,才有的明朝末年徐光啓修《崇禎曆書》時一改中國兩千年繪製星圖(圓形的)的方法使用了球形投影繪製的“赤道見界總星圖”,才有的清朝初期梅文鼎的“三極通機”。即使是再後來年希堯的《視學精蘊》其實也利瑪竇傳入的投影幾何有著絲絲縷縷的關係;第四,利瑪竇來中國後也大力宣傳和介紹過歐幾媦w平面幾何,但在其實用性上遠沒有象介紹投影幾何這麽詳細和直接過。正是由於他介紹了這些投影幾何知識的具體使用,才使得明朝末年一下子江南地區出現了那麽多的星盤和地平日晷,才使得中國的繪畫從明朝末年開始逐漸地“立體”起來。所以,利瑪竇對於向中國輸入投影幾何方面貢獻是非常大的。只是利瑪竇在傳入投影幾何的時候沒有象傳入歐氏幾何那樣傳入大量的精確的數學證明,也沒有翻譯出或寫出系統的書籍,否則其這方面的貢獻將會更大。
 
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Matteo Ricci and the Introducing of Projection Geometry from the Western
YANG Ze-zhong
(School of Humanities,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200030,China;Department of mathematicas,Shandong Normal University,Jinan 250014,China)

Abstract: In the late of Ming dynasty, Matteo Ricci came to China, beside Eclide’s geometry, he also introduced lots of knowledge of projection geometry to our country. What he introduced included oval projection, stereographic projection, analemma and scenography etc. These knowledge enriched the mathematics content of our country and made a base for the introduction of western sciences and technologies.
Key Words: Matteo Ricci; stereographic projection; projection geometry; scenography

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[分享]概率論的起源——機會性遊戲

J+W 於 星期四 十二月 23, 2004 12:38 pm


載《數學教學》2004年6月號
 
概率論的起源——機會性遊戲 王幼軍
 
  概率論不僅是當代科學的重要數學基礎之一,而且還是當代社會和人類日常生活最必需的知識之一。正如十九世紀法國著名數學家拉普拉斯所說:“對於生活中的大部分,最重要的問題實際上只是概率問題。你可以說幾乎我們所掌握的所有知識都是不確定的,只有一小部分我們能確定地瞭解。甚至數學科學本身,歸納法、類推法和發現真理的首要手段都是建立在概率論的基礎之上的。因此,整個的人類知識系統是與這一理論相聯繫的……。”
  的確,我們只要瀏覽一下當今的報紙,看一看電視,就會發現在某種程度上概率統計的語言已經成爲人類生活中重要的一部分。然而,饒有趣味的是,這門被拉普拉斯稱爲“人類知識的最重要的一部分”的數學卻直接地起源於一種相當獨特的人類行爲的探索:人們對於機會性遊戲的研究思考。

1.機會性遊戲
  所謂機會性遊戲就是靠運氣取勝一些遊戲,如賭博等。這種遊戲不是哪一個民族的單獨發明,它幾乎出現在世界各地的許多地方,如埃及、印度、中國等。著名的希臘歷史學家希羅多德(Herodotus)在他的巨著《歷史》中寫道:早在西元前1500年,埃及人爲了忘卻饑餓的困擾,經常聚集在一起擲骰子和紫雲英,這是一種叫做“獵犬與胡狼”的遊戲,照一定規則,根據擲出各種不同的紫雲英而移動籌碼。大約從西元前1200年起,人們把純天然的骨骼(如腳上的距骨)改進成了立方體的骰子,方法是摩擦骨骼使其成爲一個粗糙的立方體,骰子的六面就形成了,再在骰子面上刻上不同的數位。它是遊戲中常用的隨機發生器,可能因爲當時沒有表示數位的符號或簡單標記,早期骰子各面的數位都被刻成淺淺的印晼C現在相對面的數位之和是7的骰子大約産生於西元前1400年的埃及。到了中世紀,基督教堂曾發起多次活動以反對玩骰子和紙牌,對這種遊戲的抵制不僅僅因爲是賭博活動,更是因爲與賭博相伴隨的酗酒和其他惡行的出現。但是,賭博仍然屢禁不止,甚至在1190年的第三次十字軍戰爭中,不得不做出這樣一個規定:任何一個騎士身份以下的人不允許賭錢,而騎士和牧師則可以玩,但在24小時之內不得輸過20先令。總之,在自古至今各國文獻的記載中,有關賭博等機會性遊戲的記載的文獻是非常豐富的,賭博手冊的存在、各種隨機發生器的發明,各個時代和國家經常展開的反對賭博的鬥爭活動等都是早年機會性遊戲流傳的明證。
  在玩骰子遊戲的幾千年的時間堙A概率理論的某些思想可能早應該出現了。但是一直沒有棤H表明人們觀察到賭博與數學之間的直接關係,甚至沒有發現有人意識到骰子點數下落的頻率的計算是可能的、有效的,或每一面會以相同的頻率出現等這些最簡單的概率思想的萌芽。對於概率的思想出現得如此緩慢的現象,人們提出了許多解釋的原因。這些解釋包括:可能是由於缺少完美平衡和“誠實”的骰子,因而阻礙了人們發現任何可察覺的規律;或者由於缺少適當的數學概念和符號而阻礙了數學的探索;缺乏刺激概率思想研究的經濟問題;還有一個更有力的原因可能是“隨機”概念本身與時空觀念相對:長期以來,人們一直認爲:一系列的好運和壞運都是神授的。人們相信上帝或菛咱H某種預先確定的計劃指導著世俗的事件,所以隨機不但是不可能的,甚至是不可想像的。古希臘人似乎已得到這樣的結論:精確和規律只存在于神的王國,而混沌和無規律則是人類世界的特徵。但是他們不願使理想化的自然規律屈從于一個不完美的物理世界的事實,因而未能發展概率的思想。還有一個解釋涉及到道德的規範,賭博長期以來被視爲一種不道德的行爲,歷史上充滿了限制、制止賭博的各種嘗試。既然賭博被視爲不道德的,那麽將機會性遊戲作爲科學研究的物件也就是大逆不道了。然而這些原因沒有一個得到廣泛的認可,人們對每一個猜測都提出了反駁的理由。

2.概率的萌芽
  直到文藝復興時期,隨著阿拉伯數字和計算技術的廣泛傳播,簡單代數和組合數學的發展,並且哲學的思想開始轉變、拓展時,隨機事件的試驗和計算在本質上才有所進展,概率的思想才開始逐漸浮出水面。現在有史可查的對於賭博問題最早加以研究的是從義大利開始的。最初人們研究的重點是賭博輸贏的各種可能性或次數。在早期的一些文獻中,經常提到對觀察的結果如何加以歸類計算這類問題,這是一個非常實用的問題,也是賭徒們最迫切關切的問題。比如。1477年義大利但丁的《神曲》的注釋本刊印,在該書的“編印緣起”中講到了投擲三顆骰子可能出現的各種結果,等等。15世紀後期和16世紀早期,當一些義大利數學家開始思考在包括賭博遊戲中各種存在結果的數學的比率時,開始有了對概率第一次純數學的處理。
  卡爾達諾(Girolamo Cardano,1501—1576)是義大利數學和醫學教授,他天資聰明,常常不循規蹈矩,有著有趣而豐富的經歷。他的最著名的著作是1524年出版的《偉大的藝術》(Ars Magna),其中包括了那時所有發展起來的代數規則,包括求三次和四次方程的根的解法。在他一生中超過40年的時間堙A卡爾達諾幾乎每天都參與賭博。早年時,他就認定,如果一個人賭博不是爲了錢,那麽就沒有什麽能夠彌補在賭博中耗去的時間,這些時間本來是可以花在更值得做的事上的,比如學習。作爲對在不合適的活動中浪費時間的補償,他認真地分析了這種活動中的有價值的方面——智力因素,例如,從一副牌中抽出A的概率是多少?同時擲兩個骰子,出現點數的和爲七的概率是多少?等等。最終,在一本名叫《機會性遊戲手冊》(Liber de Ludo Aleae)的書中,他公佈了這些調查和思考的結果和他關於賭博實踐的體會。這本書成書於1526年左右,但直到一百多年後的1663年才出版。在書中他提醒他的賭徒朋友:在分牌時,得到某一張牌的機會是隨著前一張牌的選走而增大的。在題爲“擲一個骰子”的章節堙A他寫到:“我能擲出2、4、6,同時也能擲出1、3、5。因此,如果骰子是‘誠實’的,那麽下賭注就應依據這種等可能性;如果骰子不是“誠實的”,那麽它就以一定的或大一點或小一點的比例離開這種等可能性。”這堶惜w包含了“把概率定義爲等可能性事件的比”的思想萌芽,即一個特殊結果的概率是所有達到這個結果的可能的方法的數目被一個事件的所有可能結果的總和所除。此時是第一次,人們看到關於骰子的問題由經驗向理論的概率思想的轉變。從這一角度來講,有人認爲卡爾達諾可以被稱爲是“概率論之父”,概率論這一個數學分支應當以此作爲起點。但是這種觀點並未得到廣泛認可。
  除了卡爾達諾,偉大的天文學家伽利略也早已開始對擲骰子的問題進行數學化的思考,在一篇寫於1613和1623年之間、標題爲《關於骰子遊戲的思想》(Sopra le Scoperte de I Dadi)的短文中,伽利略解釋了在抛擲三枚骰子時爲什麽會有216種同等可能的結果的問題。他在其短文開頭就說,有人曾經要求他解釋爲什麽三枚骰子的某些和數的出現看來似乎有同樣大小的可能性,而玩骰子的人們卻認爲它們不是同等可能的,如和數爲10比和數爲9更佔有優勢。伽利略的所用方法的思路是:所有可能的結果有6×6×6=216,三個骰子諸麵點數構成和爲9的各種組合是:1,2,6;1,3,5;1,4,4;2,2,5;2,3,4;3,3,3。而和爲10的組合爲1,3,6;1,4,5;2,2,6;2,3,5;2,4,4;3,3,4。但是各種組合出現的幾率並非相等,例如,3,3,3的組合只有一種途徑擲出,而3,3,4則有三種不同的途徑擲出。實際上,9可以有25種不同的途徑擲出而10則有27種不同的途徑擲出,這就是10比9較常出現的原因。用現在的知識知道,出現和數爲9的可能性爲25/216,出現和數爲10的可能性是27/216。爲什麽一個賭徒能夠區分出這麽小的差別?人們認爲一個合理的解釋是:這種知識來自幾百年的積累和代代相傳下來的經驗。

3.概率的産生
  儘管有卡爾達諾和伽利略等先驅者的一些非常重要的工作,而概率論歷史學家大多贊同這樣一個觀點:對於數學中一個非常特別的問題的解法的探求成爲數學化的概率科學産生的標誌之一,這個問題被稱作“點問題”。所謂“點問題”是指當遊戲在完成前被終止時,怎樣處理兩名技能相當的遊戲者的賭金分配問題,其依據是遊戲者的得分數或是遊戲終止時的點數。義大利的帕巧利(Luca Pacioli,1445—1509)早在1494年出版的《算術書》(Summa de Arithmetica)一書中,就提到了賭博中常常遇到的“點問題”,他是最早在數學著作中提到點問題的作者。緊接著,卡爾達諾和他的對手塔爾塔利亞 (Nicola Fontana Tartaglia 1499—1557)都討論過這個問題。然而,所有這些人,對這一問題得出的結論都不正確。直到一百多年後,在1654年,一個名爲德.梅勒(de Mere,1607——1684)的法國人把這個問題寄給了當時的數學天才帕斯卡,從此概率論歷史上一個決定性的階段才開始了。
  帕斯卡(Blaise Pascal,1623——1662)在早年就表現出了超常的數學能力,在數學史中他被稱作“最偉大的天才”(Greatest Might-Have-Been),他曾經對微積分、射影幾何、概率論等數學分支做出了巨大的貢獻。他擁有如此高的數學天賦和非常敏銳的直覺能力,他理應創造更多的發現。不幸的是,在他生命的大部分時間堙A他倍受敏感性神經痛和精神幻覺症的折磨。他于1662年去世時年僅39歲。
  與帕斯卡共同分享概率論的創始人的聲譽的法國另一位數學家費馬(Pierre de Fermat,1601—1665)的一生則充滿了喜悅與和平。他的職業是一名律師,他把他大部分的空餘時間都獻給了數學研究。雖然他沒受過什麽特別的數學訓練,但是在數學這一領域中,卻取得了同時代其他數學家不可比擬的重大的發現。他和笛卡爾(Descartes,1596——1650)各自獨立地發明了解析幾何學,爲微積分奠定了技術基礎。在十七世紀的數論領域堨L的成果最爲豐富,以後數論成爲一個正式的抽象數學領域與他的工作密不可分。作爲一個謙遜樸實的人,他很少發表文章,但是他與當時很多一流數學家不斷通信,並在他的同時代人中有相當的影響力。費馬的萓h重要的貢獻豐富了數學的很多領域,所以被稱爲“業餘數學家之王”。
  德.梅勒是一位軍人、語言學家、古典學者,同時也是一個有能力、有經驗的賭徒,他經常玩骰子和紙牌。雖然他不是一個全職的數學家,但他經常從數學的角度提出和思考賭博中出現的一些有深度的問題,“點問題” 就是其中之一。這一次,德.梅勒的問題的形式是:假設兩個賭博者(德.梅勒和他的一個朋友)每人出30個金幣,兩人各自選取一個點數,誰選擇的點數首先被擲出3次,誰就贏得全部的賭注。在遊戲進行了一會兒後,德.梅勒選擇的點數“5”出現了2次,而他的朋友選擇的點數“3”只出現了一次。這時候,德.梅勒由於一個緊急事情必須離開,遊戲不得不停止。他們該如何分配賭桌上的60個金幣的賭注呢?德.梅勒的朋友認爲,既然擲出他選擇的點數的機會是德.梅勒的一半,那麽他該拿到德.梅勒所得的一半,即他拿20個金幣,德.梅勒拿40個金幣。然而德.梅勒爭執到:再擲一次骰子,對他來說最糟糕的事是他將失去他的優勢,遊戲是平局,每人都得到相等的30個金幣;但如果擲出的是“5”,他就贏了,並可拿走全部的60個金幣。在下一次擲骰子之前,他實際上已經擁有了30個金幣,他還有50%的機會贏得另外30個金幣,所以,他應分得45個金幣。
  他們對這一問題的看法和計算方法不一致,爲此而爭論不休。後來德.梅勒把這個問題告訴了帕斯卡,帕斯卡對此也很感興趣,又寫信告訴了費馬。於是在這兩位偉大的法國數學家之間開始了具有劃時代意義的通信。在通信中,兩人用不同的方法正確地解決了這個問題。在1654年7月29日,帕斯卡寫給費馬的信中,他提到了這個問題和可能的解決方法,“你的解法非常正確,是給我印象最深的一個,但這些組合太過麻煩。我發現了另一種更爲簡潔的實在可行的解法。”在1654年10月21日他寫給費馬的信中提到,當他們互不贊同的時候,能這樣通信,保持一致是鼓舞人心的。他說:“先生,您的最後一封信讓我非常滿意,您有關‘點問題’的解法我很欽佩。更是因爲我非常理解它完全是屬於你的,它與我的解法完全不同,然而卻輕易的得到了同樣的結果,現在我們又開始和睦了。”在1654年7月和10月的通信中,他們還聯繫“點問題”思考了其他的問題,比如當兩人的技藝不等時,或超過2人參加遊戲的賭金的分配問題。尤其是帕斯卡的研究更有效地推動了數學概率理論的發展,他的組合方法具有一般性。他的工作中還蘊涵了概率論中另一重要的思想——數學期望的思想。在十七世紀彌漫著濃重的宗教神學氣質的精神環境中,身爲神學家的帕斯卡也結合了宗教和數學兩種思想於概率的思考中。帕斯卡在他的著作《思想錄》中曾經提出一個以“帕斯卡賭注”聞名的問題:“我們既不知道上帝的存在,也不知道上帝的本質。然而我們將傾向於哪一邊呢?……,這媔i行的是一場賭博,…… 讓我們來權衡一下在上帝存在的賭注中的得失。讓我們估計這兩種可能性,如果你贏了,你贏得所有;如果你輸了,你卻一無所失。因此,你就不必遲疑去賭上帝的存在吧。”這個論述中已包含了比較明確的數學期望的思想,這種思想成爲以後惠更斯(Christian Huggens)和維特(De. Witt)的概率論工作中的一個基本思想,並在以後相當長的時間埵b古典概率論的研究中起著重要的作用。
  帕斯卡和費馬正確解決了“點問題”的這一事件被伊夫斯(Howard Eves)稱爲“數學史上的一個里程碑”。在概率論的歷史上,一般的傳統觀點則把這一事件看作爲數學概率論的起始標誌。之所以不把卡爾達諾的著作作爲概率論的起源的始點,有這樣幾個原因:在卡爾達諾的著作中只有一小部分內容是處理機會(chance)的計算的。就像卡爾達諾的大多數作品一樣,這種處理似乎只是零碎的和模糊的,混雜于卡爾達諾的個人的一些奇聞軼事、哲學思考、大量流行的賭博者常用的欺騙策略和精明的心理應用等建議之中,並且他的這本著作中所闡述的數學思想對數學家和一般的賭徒幾乎都沒有什麽影響。因爲對於當時的數學家而言,概率太遊戲化了,而對賭徒而言,概率又太數學化了。而帕斯卡和費馬的通信除了正確解決了一些問題和概念之外,還創造了一種研究的傳統——用數學方法(主要是組合數學的方法)研究和思考機會性遊戲。這種傳統統治這個領域達半個多世紀的時間。所以,綜合考慮所有這些因素,這個事件贏得它在數學概率論的歷史中的標誌性的地位是當之無愧的。

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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30

[分享]祖沖之對計量科學的貢獻

J+W 於 星期四 十二月 23, 2004 12:40 pm


《自然辯證法通訊》2004年第1期
 
祖沖之對計量科學的貢獻
關增建
(上海交通大學科學史與科學哲學系,上海 200030)
 
  摘要:祖沖之是南北朝時期的著名科學家,對計量科學做出了很大貢獻。他重視測量中的精度問題,重視對計量基準的搜集和保存。他對前代度量衡標準器的研究取得了引人注目的成績。在時間計量方面,他對基本計時單位回歸年、朔望月和時刻制度都做過探討,他的探討促進了傳統曆法的進步。對計量問題的關注是他在科學研究上取得重大成就的重要原因。他的個別工作也有欠嚴謹之處。
  關鍵字:祖沖之 計量史 嘉量 栗氏量
  〔中圖分類號〕TB9.092 〔文獻標識碼〕A 〔文章編號〕1000-0763(2004)01-0000-07
ZU Chongzhi’s Contributions to Metrology Science
GUAN Zengjian
(Department for the History and Philosophy of Science, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200030)
Abstract:ZU Chongzhi is a famous scientist of the Northern and Southern Dynasties (420~589). He had made great contributions to metrology science then. He paid attention to the problem of precision of measurement and made great effort to collect and preserve the metrological standard apparatus. He gained remarkable achievements in the studying of the standard apparatus of weights and measures of former dynasties. In the field of time measurement, he explored basic time units such as tropical year, lunar month and the system of Shi (one of the 12 two-hour periods into which the day was formerly divided before the introduction of western chronology) and Ke (a time unit in ancient China which equals 14.4 minutes). His explorations advanced the development of Chinese traditional calendar. Paying special attention to metrological problems is an important factor for him to obtain fruitful results in his study of science. There were also some mistakes in his study of metrologies.
Key Words: ZU Chongzhi, history of metrology, standard apparatus
 
  祖沖之(429-500)是我國南北朝時期的著名科學家,在中國科學史上享有崇高地位。在今天的人們看來,他推算出了高精度的圓周率,使之領先世界一千多年,是一位享譽世界的大數學家;他提出了《大明曆》,內含多項創新,是一位傑出的天文學家;他成功復原了指南車,使古代絕技失而復得,是一位優秀的機械發明家;……。對祖沖之的這些評價,是完全正確的,但還不夠全面,因爲他爲今人所稱道的那些成就,主要是圍繞著計量科學的發展而做出的。他首先是一位傑出的計量學家,對中國古代計量科學的發展做出了巨大貢獻。與此同時,在他的計量科學工作中,也有個別不嚴謹之處。

一.對測量精度和尺度標準的重視
  祖沖之一生的科學工作,大都與計量有關。他有著豐富的計量實踐。在給宋孝武帝所上請求頒行《大明曆》的表中,他曾經提到,在治曆實踐中,他常常“親量圭尺,躬察儀漏,目盡毫釐,心窮籌策”[1] ,自己動手進行測量和推算。測量離不開擇定基準、核對尺度,測量本身不可避免還會涉及精度問題,這都與計量有關。對這些問題的重視,使他很自然地步入了計量領域。
  精度問題是促進計量進步的重要因素,祖沖之對之十分重視。他曾經指出:“數各有分,分之爲體,非細不密。”[2] 所謂“細”,即是指測量資料的精度要高,他認爲,只有高精度的測量,才能使測量結果與實際密合。他不但在理論上高度重視精度問題,而且在實踐中,也身體力行,努力追求盡可能高的測量精度。他自稱在測量和處理各類資料時的指導思想是“深惜毫釐,以全求妙之准;不辭積累,以成永定之制。”(引文出處同注〔2〕)。他在測量實踐中的“目盡毫釐”,在推算圓周率時精確到小數點後7位,就是其重視精度的具體表現。正是這種重視,使他在計量科學領域做出了令人景仰的成就。
  在對計量基準的擇定方面,祖沖之首先值得一提的工作是他對前代計量標準器的保存和傳遞。他的這一事棡P西晉荀勖考訂音律的成果有關。
  荀勖考訂音律的事情發生在西晉初期。晉朝立國之後,在禮樂方面沿用的是曹魏時期杜夔所定的音律制度。但是,杜夔所定的音律並不準確,晉武帝泰始九年(西元273年),荀勖在考校音樂時,發現了這一問題,於是受武帝指派,做了考訂音律的工作,制訂了新的尺度。《晉書·律曆志上》對此有簡要記載:
  起度之正,《漢志》言之詳矣。武帝泰始九年,中書監荀勖校太樂,八音不和,始知後漢至魏,尺長於古四分有餘。勖乃部著作郎劉恭依《周禮》制尺,所謂古尺也。依古尺更鑄銅律呂,以調聲韻。以尺量古器,與本銘尺寸無差。又,汲郡盜發六國時魏襄王塚,得古周時玉律及鍾、磬,與新律聲韻闇同。于時郡國或得漢時故鍾,吹律命之皆應。
  荀勖通過考訂音律,製作了新的標準尺,並對之做了一系列的測試。測試結果表明,他的新尺符合古制,製作是成功的。
  荀勖律尺的製作成功,在當時影響很大,著名學者裴頠就曾上言:既然荀勖新尺已經證明當時流行的尺度過大,就應該對度量衡制度加以改革,或至少對醫用權衡進行改革:
  荀勖之修律度也,檢得古尺短世所用四分有餘。頠上言:“宜改諸度量。若未能悉革,可先改太醫權衡。此若差違,遂失神農、岐伯之正。藥物輕重,分兩乖互,所可傷夭,爲害尤深。”卒不能用。[3]
  裴頠的建議未被採納,荀勖律尺就只能限於宮廷內部,考訂音律時使用。
  中國古代在制訂度量衡制度時,有一個傳統,就是首先要考訂古制。荀勖律尺是經歷三國時期度量衡混亂之後,人們用“科學”方法考訂出來的第一個標準尺,因此深受後人重視,《晉書》把它放在“審度”欄目之下,緊接著“起度之正”加以揚z,就表明了這一點。從這個意義上說,荀勖律尺是後人制訂度量衡制度的圭臬。而這樣的圭臬,被祖沖之設法搜羅到並傳遞下去了。
  祖沖之是如何保存並傳遞荀勖律尺的,我們一無所知。導致我們做出這一判斷的,是唐代李淳風在考訂歷代尺度時,對“祖沖之所傳銅尺”的記載:
  祖沖之所傳銅尺。
  ……梁武《鍾律緯》雲:“祖沖之所傳銅尺,其銘曰:‘晉泰始十年,中書考古器,揆校今尺,長四分半。所校古法有七品:一曰姑洗玉律,二曰小呂玉律,三曰西京銅望臬,四曰金錯望臬,五曰銅斛,六曰古錢,七曰建武銅尺。姑洗微強,西京望臬微弱,其餘與此尺同。’銘八十二字。”此尺者,勖新尺也。今尺者,杜夔尺也。雷次宗、何胤之二人作《鍾律圖》,所載荀勖校量古尺文,與此銘同。而蕭吉《樂譜》,謂爲梁朝所考七品,謬也。今以此尺爲本,以校諸代尺雲。 [4]
  引文中省略的部分是《晉書》對荀勖制訂律尺過程的介紹。通過對祖沖之所傳銅尺上的銘文的研讀,李淳風斷定它就是荀勖所發明的律尺,並以之爲標準,對前代諸多尺度做了校核。就銘文而言,該尺是荀勖律尺,斷無可疑,但該尺是否爲祖沖之所傳呢?李淳風的依據是梁武帝《鍾律緯》的記載。梁朝上承南齊,祖沖之晚年是南齊重臣,他去世兩年而梁武帝即位,所以梁武帝對他的記述應該是可靠的,該尺應該確實是祖沖之所傳。
  祖沖之能搜羅到荀勖律尺,殊爲不易。因爲荀勖律尺只是用來調音律,並未用於民間,不可能在社會上流傳,一般人是難以覓其蹤椌滿C而在宮廷中保存,也同樣難逃厄運。西晉末年,戰亂大起,京城洛陽被石勒佔領,晉朝皇室匆忙南遷,各種禮器,盡歸石勒,以至於東晉立國之時,禮樂用器一無所有。這種狀況,直到東晉末年,也未得到徹底改善。對此,《隋書·律曆志上》記載道:
  至泰始十年,光祿大夫荀勖,奏造新度,更鑄律呂。元康中,勖子籓複嗣其事。未及成功,屬永嘉之亂,中朝典章,咸沒于石勒。及帝南遷,皇度草昧,禮容樂器,掃地皆盡。雖稍加采掇,而多所淪胥,終於恭、安,竟不能備。
  在這種情況下,荀勖律尺的命運,也不會好到哪里去。而從西晉滅亡到祖沖之的時代,時間又過去了100多年,由此,祖沖之要搜尋到荀勖律尺,難度可想而知。但祖沖之最終還是找到了該尺,並把它傳給了後人,這樣,李淳風才能以之爲據考訂歷代尺度。這件事情本身表明,祖沖之對尺度的標準器問題是非常重視的。

二.對新莽嘉量的研究
  祖沖之不但注意搜集和保存前代的標準尺,而且還注重對前代度量衡標準器的研究。在祖沖之之前,中國歷史上有兩件標準量器最爲著名,一件是戰國時的栗氏量,一件是西漢末年的新莽嘉量,祖沖之對它們都做了研究,並取得了令人景仰的成就。本節我們先說祖沖之對新莽嘉量的研究。
  新莽嘉量是劉歆設計製作的。祖沖之在探究新莽嘉量的過程中,求得了精確度高達小數點後7位的圓周率值,並以之爲據,指出了劉歆設計的粗疏之處,從而把中國計量科學推進到了一個新的高度。
  西漢末年,王莽秉政,爲了滿足其托古改制的政治需要,他委派以劉歆爲首的一批音律學家,進行了一次大規模的度量衡制度改革。這次改革的成果之一是製作了一批度量衡標準器,新莽嘉量就是其中之一。新莽嘉量是一個五量合一的標準量器,其主體是斛量,另外還有鬥、升、龠、合諸量。在嘉量的五個單位量器上,每一個都刻有銘文,詳細記載了該量的形制、規格、容積以及與它量之換算關係,例如斛量上的銘文是:
  律嘉量斛,方尺而圓其外,庣旁九厘五毫,冥百六十二寸,深尺,積千六百二十寸,容十鬥。
  此處冥同冪,表示面積。銘文反映了劉歆的設計思想。按照當時的規定(即《九章算術》所謂的粟米法),1斛等於10鬥,容1620立方寸,因此,在深1尺的前提下,要確保斛的容積爲1620立方寸,必須其內圓的截面積爲162平方寸,即劉歆所謂之“冥百六十二寸”。也就是說,圓的面積是確定了的,需要解決的,是其直徑的大小。當時,人們是用圓內接正方形來規定圓的大小的,即所謂“方尺而圓其外”,但在內接正方形邊長爲1尺的情況下,圓面積不足162平方寸,所以需要在其對角線兩端加上一段距離,這段距離就叫“庣旁”,如下圖所示。

  根據劉歆的設計思想,嘉量斛的容積可以表示爲:
  1斛=π( /2+庣旁)2×1=1.62(尺3)
  可見,在嘉量的設計過程中,圓周率π是一個舉足輕重的因素,它決定了“庣旁”的大小,而“庣旁”則決定了斛的設計精度。劉歆最後得出的“庣旁”爲9厘5毫,根據這一數位,可以倒推出他使用的π值是3.1547。考慮到當時通用的圓周率值是周三徑一,劉歆的設計已經走在了時代的前面。
  因爲圓周率π在嘉量設計中具有舉足輕重的作用,後人在研究劉歆的設計時,就不能不將注意力放在圓周率上。祖沖之即是如此。爲了考證新莽嘉量的設計是否科學,祖沖之運用劉徽發明的割圓術,經過繁雜的運算,得到了3.1415926<π<3.1415927這樣的結果,從而使得中國數學在圓周率推算方面,取得了遠遠領先於歐洲數學的成就。祖沖之爲今人所景仰,主要也是出於他的這一數學發展史上里程碑式的成就。祖沖之對圓周率的研究,人們已經耳熟能詳,這堣ㄕA贅述。
  需要指出的是,祖沖之推算圓周率的目的,是爲了考校劉歆的設計是否精確,也就是說,是著眼於計量科學的發展的。這是他在計量科學研究中所獲得的數學成果。在他的時代,人們爲純數學而研究數學的思想並不強,當時人們研究圓周率,有兩種傳統,一種是爲了解決天文學問題,一種是爲了解決實際的計量問題。張衡、王蕃、皮延宗等代表的是前一種傳統,而劉歆、劉徽、祖沖之等則代表了後一種傳統。特別是祖沖之,他求得了精確的圓周率值以後,接著就用新的圓周率值,對劉歆的資料做了校驗。這件事本身就表明了他推算精確的圓周率值的目的。
  關於祖沖之對新莽嘉量的校驗結果,《隋書·律曆志上》有所記載:
  其斛銘曰:“律嘉量斛,方尺而圓其外,庣旁九厘五毫,冪百六十二寸,深尺,積千六百二十寸,容十鬥。”祖沖之以圓率考之,此斛當徑一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽,庣旁一分九毫有奇。劉歆庣旁少一厘四毫有奇,歆數術不精之所致也。
  “其斛”,指的就是新莽嘉量。祖沖之以他推算的圓周率值來檢驗劉歆的設計,發現劉歆的“庣旁”不夠精確,少了1厘4毫。祖沖之的推算結果可以從上述式子中得出,以祖率π=3.1415926代入上式,則有
  1斛=3.1415926×( /2+庣旁)2×1=1.62(尺3)
  從這個式子中解出的庣旁值爲0.01098933尺,即“一分九毫有奇”,將此值與劉歆的結果9厘5毫相比,劉歆的庣旁值確實少了“一厘四毫有奇”。所以,《隋書·律曆志》的作者李淳風指出,之所以如此,是劉歆“數術不精之所致也”。這種“不精”,主要就表現在其圓周率值不夠精確。在祖沖之之前,劉徽曾以他推算出的π=3.14的圓周率值計算過嘉量斛的直徑,但他未提及庣旁,而且計算精度也不及祖沖之。祖沖之是歷史上第一個明確指出劉歆庣旁的誤差的人。
  應該指出,1厘4毫的差距,確實很小。當時的測量精度,很難達到毫的量級。正因爲如此,這一結果的取得,是計量科學得到充分發展的標誌。高精度圓周率值的發現,是當時計量科學發展在數學科學領域取得的重大成果。

三.對栗氏量的探討
  相比於對新莽嘉量的研究,祖沖之對栗氏量的探討別具一格。關於栗氏量的原始記載見於文獻《考工記·栗氏爲量》條,原文爲:
  栗氏爲量,……鬴深尺,內方尺而圓其外,其實一鬴;其臀一寸,其實一豆;其耳三寸,其實一升。重一鈞。其聲中黃鍾。
  引文中提到的鬴、豆、升是三種容量單位。栗氏量在提供這些單位的實物大小的同時,還規定了其相應尺寸,這就使得人們有可能通過這些尺寸,推算出其具體容積來。漢代鄭玄就做過這種推算,他說:“四升曰豆,四豆曰區,四區曰鬴,鬴六鬥四升也。鬴十則鍾。方尺積千寸。於今粟米法少二升八十一分升之二十二。”[5]鄭玄推出1鬴等於6鬥4升,依據的是《左傳》的記載:“齊舊四量,豆區釜鍾,四升爲豆,各自其四,以登於釜,釜十則鍾。[6]” 這堙妍y”同“鬴”,是同量異名[7]。《左傳》給出的這幾種單位的換算關係是:
  1鍾=10鬴; 1鬴=4區; 1區=4豆; 1豆=4升
  如果栗氏量遵循《左傳》中所言的進位制,則其1鬴應等於64升,即6鬥4升。接下去,鄭玄按照鬴的容積爲1立方尺進行計算,得出1鬴等於1000立方寸的結論,認爲它比按照《九章算術》“粟米法”的運算結果少了2又81分之22升。
  鄭玄的推算給人們提出了一個嚴峻的話題:栗氏量的單位量制比漢代的要小。在談論量器的容積時,中國古代有一個優良傳統,叫做“用度數審其容”[8],即用長度單位規定出量器單位的大小來。當時鬥的單位量制是1鬥等於162立方寸。從戰國時遺留至今的商鞅方升上的銘文“積十六尊(寸)五分尊(寸)壹爲升”,到《九章算術》的“粟米法”,再到新莽嘉量斛銘上的“積千六百二十寸”,都昭示著這樣的單位量制。該量制是當時人們的共識,並被公認爲它就是所謂的古周制。而按照鄭玄的推算,6.4鬥合1000立方寸,即栗氏量的1鬥合156.25立方寸。這與公認的鬥的量制顯然是不同的。我們知道,劉歆製作嘉量時,模仿的是栗氏量的結構和形制,正如勵乃驥先生所言,“劉歆作量,仿乎周制,故其銘辭,多引《周禮》,如‘嘉量’、‘方尺而圓其外’,‘深尺’等語,即引《考工記》之文。[9]” 嘉量鬥的量制是1鬥等於162立方寸,劉歆嘉量以栗氏量爲藍本,鄭玄推算的同樣也是栗氏量,他們得出的單位量制居然不同,這是說不過去的。
  實際上,鄭玄在這堨リF兩個錯誤。一個是他誤解了栗氏量的形制。《考工記》中說的“內方尺而圓其外”,不是說栗氏量的形狀內方外圓,而是說該量器口徑正好容納下一個邊長爲1尺的正方形。即是說,鬴的形狀是圓桶形的。鄭玄把它當成一個邊長爲1尺的正方體容器去計算,焉能不出錯。
  鄭玄的第二個錯誤是:他還誤解了栗氏量的單位進制。按照鄭玄的解釋,栗氏量1鬴等於6鬥4升,而劉歆的嘉量則1斛等於10鬥,這樣,二者又出現了矛盾。在這堙A鄭玄依據的是《左傳》的記載,而實際上,《左傳》中說的是“齊舊四量”,它是否適用于栗氏量,尚需再加考證。關於栗氏量的單位進制問題,陳夢家提出了一種新的解釋,他說:“《考工記》之嘉量,其主體之鬴,深、徑各一尺,鬴下圈足內(即謂臀)深一寸,徑仍一尺,則豆爲鬴十分之一。如此,豆、升皆爲十進位。” 陳夢家的“徑一尺”的說法,不夠準確,但他提出的鬴、豆、升各爲十進位的見解,則不無道理,丘光明等對陳夢家的觀點評價道:“這種看法是很有見地的。齊國四進制的‘公量’,最早見於春秋,時至戰國,逐漸被田齊家量所取代,並且已證明多用升、鬥、釜十進位。《考工記》成書于戰國後期,不會再用四進之豆、區制。而栗氏量中之豆,實當爲鬥。[10]” 換句話說,栗氏量中的鬴容10鬥,與後世的斛是一樣的。
  在歷史上,鄭玄的這兩個錯誤,在祖沖之那堭o到了明確的糾正。《隋書·律曆志上》記載說,對栗氏量,
    祖沖之以算術考之,積凡一千五百六十二寸半。方尺而圓其外,減傍一厘八毫,共徑一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇而深尺,即古斛之制也。
  祖沖之的演算法可用公式表述如下:
  1鬴=π(14.10472/2)2×10=1562.5(寸3)
  這一演算法,只對圓柱體成立,因此,它糾正了鄭玄的第一個錯誤。引文中的“即古斛之制也”,更明確指出這是容十鬥之“古斛”,這樣,它又糾正了鄭玄的第二個錯誤。
  需要指出的是,祖沖之的上述推算也有瑕疵。他在推算鬴的直徑時,採用了“減傍一厘八毫”的做法,這種做法依據不足。栗氏量明確規定其口徑爲“內方尺”,即恰能容下一個邊長爲1尺的正方形,原文並沒有提到“傍”的存在。“庣旁”是劉歆設計嘉量時的發明,劉歆之前不存在類似的概念。祖沖之的“減傍”,于理于原文皆無所據。
  實際上,在祖沖之之前,劉徽在研究栗氏量時,已經引入了“庣旁”的概念,他在檢驗栗氏量的數位關係時提出:
  以數相乘之,則斛之制:方一尺而圓其外,庣旁一厘七毫,冪一百五十六寸四分寸之一,深一尺,積一千五百六十二寸半,容十鬥。 [11]
  根據劉徽給出的數位關係,可以看出他是按下述式子進行運算的:
  1斛=π( /2-0.017)2×10≈1562.5(寸3)
  與劉歆設計新莽嘉量不同的是,劉徽把“庣旁”由正變成了負。祖沖之繼承了劉徽的做法,只不過他的圓周率值比劉徽的π=3.14要稍微大一點,所以他把“庣旁”也做了相應增加,由1厘7毫變成了1厘8毫。至於劉徽祖沖之爲什麽要對栗氏量引入“庣旁”概念,我們不得而知,也許這是他們爲了得到與鄭玄的1鬥合156.25立方寸相同的結果而採取的湊數措施。實際上,在當時,1斛等於1620立方寸的所謂的古周制已深入人心,鄭玄的推算于史無據,前提是錯的,他們沒必要去迎合鄭玄的單位進制。
  祖沖之的推算還有另外一個疏忽。按“正方尺而圓其外”再“減傍一厘八毫”的方式進行計算,得到的結果應該是“徑一尺四寸一分六毫一秒三忽有奇”,而不是“一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇”。運算過程如下式所示:
  斛徑= -2×0.0018=1.4106135(尺)
  要得到祖沖之所說的“徑一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇”的結果,應該“減傍一厘八毫七秒有奇”,[12]而不是“減傍一厘八毫”。所以,這是祖沖之在數位表示上的疏忽。祖沖之之所以會出現這樣的疏忽,大概是因爲古人不具備現代的有效數字概念,記數時不運用四捨五入法則,而他在對“庣旁”的表示上又只取了兩位有效數字的緣故。但無論如何,這種疏忽的出現都是不應該的:他既然在推算栗氏量的直徑時,可以精確到7位有效數字;在指出劉歆“庣旁”的精度時,不忘在“毫”之後加上“有奇”二字,那麽,在爲栗氏量設計“庣旁”時,他爲什麽就不肯在“毫”之後多記上一兩位有效數字,從而使一組資料之間的精度大致保持一致呢?

四.對時間和空間計量的貢獻
  祖沖之在時間計量方面也做了大量工作。
  在對基本時間單位回歸年長度的測定方面,祖沖之改進了傳統的測定方法,從而使新的曆法在回歸年長度上更爲準確。過去人們測定回歸年長度,通常是在預期的冬至前後幾天,用立竿測影的方法,測出影子最長的那一天作爲冬至,相鄰兩個冬至之間的時間長度,就是一個回歸年。這種方法在理論和實踐上都存在一些問題,而且還容易受到冬至前後氣候變化影響,有一定誤差。祖沖之對之做了巧妙的改革,提出了一種具有比較嚴格的數學意義的測定冬至時刻的方法:他選擇冬至前若干天和冬至後若干天分別測量正午時分的影長,通過比較影長變化,運用對稱原理推算出冬至的準確時刻。他的方法是對傳統回歸年測定方法的重大突破,有很高的理論意義和實用價值。他運用這一方法,測得了更爲精確的回歸年數值,並將其寫進了自己編制的《大明曆》中。按《大明曆》的資料,他測得的回歸年長度是365.2428日。這個數值要過700多年才被後人所突破。 [13]
  另外,祖沖之還對閏周做了修改。我國古代曆法是陰陽曆,需要通過安置閏月來調整朔望月和回歸年之間的關係。傳統上人們採用19年7閏的方法來解決這一問題,但這一閏周比較粗疏,大約200多年就要多出一天,祖沖之經過反復測算,提出每391年中置144個閏月的主張。他的這一主張跟現代測量值比較只差萬分之六日,即一年只相差52秒,這是相當精密的。
  由於回歸年日數和閏周資料都比較精密,祖沖之《大明曆》在另一自然時間單位——朔望月長度的推定方面,也取得了非常好的結果。他的朔望月長度爲29.5305915日,與今測值相比誤差僅爲0.00000560日,每月僅長0.5秒。祖沖之以後,直到宋代《明天曆》、《奉元曆》、《紀元曆》等曆法中,才有更好的朔望月資料出現。 [14]
  除了對回歸年、朔望月這兩個時間單位進行改革,祖沖之還對古代另一個重要計時單位——刻及計時儀器漏刻做了探究,其探究成果表現在他和兒子祖暅之合著的著作《漏經》一書中。《南史·沈洙傳》曾提到《漏經》這本書:
  洙曰:夜中測立,緩急易欺,兼用晝漏,於事爲允。但漏刻賒促,今古不同。《漢書·律曆》、何承天、祖沖之祖暅之父子《漏經》,並自關鼓至下鼓、自晡鼓至關鼓,皆十三刻,冬夏四時不異。若其日有長短,分在中時前後。
  《漏經》一書已經失傳,其具體內容我們不得而知。從沈洙的引述中可知,該書至少探討了時刻制度安排問題,而且其探討被當時人作爲討論時刻制度的依據而加以引用,這是沒有疑義的。
  在空間方位計量方面,祖沖之也頗有可稱道之處:他成功地研製出了指南車,爲中國計量史留下了一段佳話。劉宋王朝的奠基人是後來被追封爲武帝的劉裕,劉裕當年平定關中後秦政權時,得到了後秦政權的一輛指南車,該車雖然具有指南車的形狀,但設計卻不夠精巧,以至於每當車子隨儀仗隊出行時,就得有一個人藏在車內,依靠人的轉動使車上木人的手臂指向南方。祖沖之對該車早有所知,多次提出應該對之加以改造。後來,蕭道成把持劉宋王朝朝政,把改造這部車子的任務交給了祖沖之。祖沖之經過精心推敲和反復測試,成功地設計和安裝了其內部機械裝置,使得該車“圓轉不窮而司方如一”,具備了自動指南的功能。當時,北方有個叫索馭驎的,號稱自己也能造指南車,蕭道成就讓他和祖沖之各造一輛,公開比試,比試的結果,祖沖之的得到了大家的一致認可,而索馭驎所造則“頗有差僻,乃毀焚之。” [15]
  祖沖之還有其他一些工作,也與計量科學的發展有很大關係,限於篇幅,這堣ㄕA多說。總而言之,祖沖之對古代中國計量科學的發展做出了很大貢獻,對計量問題的關注,也促成了他在數學等其他相關學科的成就,這是沒有疑義的。
 
 
[1]〔梁〕蕭子顯:南齊書·祖沖之傳〔M〕.
[2]〔梁〕沈約:宋書·曆志下〔M〕.
[3]〔唐〕房玄齡等:晉書·裴頠傳〔M〕.
[4]〔唐〕李淳風:隋書·律曆志上〔M〕.
[5]《考工記·栗氏爲量》條之鄭玄注,見《十三經註疏·周禮註疏卷四十》〔M〕,北京:中華書局,1979年版.
[6]〔戰國〕左傳·昭公三年〔M〕.
[7]吳承洛:中國度量衡史〔M〕. 上海:上海書店,1984年印刷,100頁.
[8]〔漢〕班固:漢書·律曆志上〔M〕.
[9]勵乃驥:釋庣〔A〕,載河南省計量局:中國古代度量衡論文集〔C〕,鄭州:中州古籍出版社,1990年版,52頁.
[10]丘光明,邱隆,楊平:中國科學技術史·度量衡卷〔M〕,北京:科學出版社,2001年版,221頁.
[11]〔魏〕劉徽:九章算術注·卷五·商功〔M〕.
[12]李儼在“減傍一厘八毫”後補上了“七秒”二字,並說“原無此二字”,但未進一步深究。見鄒大海:李儼與中國古代圓周率〔J〕·中國科技史料,2001年第2期.
[13]中國天文學史整理研究小組:中國天文學史〔M〕,北京:科學出版社,1987年第2次印刷,89∼91頁.
[14]杜石然:祖沖之〔A〕. 載杜石然等:中國古代科學家傳記(上)〔C〕,北京:科學出版社,1997年第2次印刷,221∼234頁.
[15]〔唐〕李延壽:南史·祖沖之傳〔M〕.
 

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