[討論]堪根定理

[討論]堪根定理

浩浩 於 星期二 十月 05, 2004 11:27 pm


設a b為實數,證明4次方程式5x^4+ax^3+bx-1=0
有一個實數根y滿足 -1<=y<=1

這題應該是要用到堪根定理......但不知從何下手?
Fernando Tan
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浩浩
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kaseikami 於 星期六 十二月 04, 2004 9:55 am


x = 0 代入==> f(0) = -1 < 0
x = 1 代入 ==>f(1) = 4 + a + b
x = -1 ==> f(-1) = 4 - a - b

若不存在實數根y , -1<=y<=1 使得 f(y) = 0

又因為 f(0) < 0

所以 f(-1) <0 且 f(1) < 0 (堪根定理)

==> 4 - a - b < 0 && 4 + a + b < 0

a , b 不存在實數解滿足上式 ( 矛盾

所以存在實數根y , -1<=y<=1 使得 f(y) = 0

( 換言之  f(1) 或 f(-1) 必定有一個值 > 0 )

kaseikami

 
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數學挑戰題之『未解的難題』