1.
延伸AE及CD,使其交於一點G。F在GD上,使EF=ED。
五角形內角和=(5-2)180°=540° (多邊形內角和)
∴∠AED=∠EDC=540°/5=108°
∠GED=180°-∠AED=72° (直線上的鄰角)
∠GDE=180°-∠EDC=72° (直線上的鄰角)
∵EF=ED (已知)
∴∠EFD=∠EDF=72° (等腰三角形底角)
∠EGD=180°-∠GED-∠GDE=36° (三角形內角和)
∠FED=180°-∠EFD-∠EDF=36° (三角形內角和)
∴△GDE∼△EFD (AAA)
∴GD/DE=EF/FD (相似三角形的對應邊)
設FD=r,那麼GE=GD=1+r
(1+r)=1/r
r
2+r-1=0 (r>0)
r=(1/2)(√5-1)
AG=AE+EG=1+(1+r)=2+r
GH=GD+DH=(1+r)+(1/2)=(3/2)+r
∵∠AHG=90° (已知)
∴AH
2=AG
2-GH
2 (畢氏定理)
AH
2=(r+2)
2-[(3/2)+r]
2=(7/4)+r=(5/4)+(1/2)√5
x=AH=√[(5+2√5)/4]
2.
AD
2=AH
2+HD
2 (畢氏定理)
AD
2=(1/4)(5+2√5)+(1/4)=(1/4)(6+2√5)=[(1/2)(1+√5)]
2
AD=(1/2)(1+√5)
△ADE的半周界=[(1/2)(1+√5)+1+1]/2=(1/4)(5+√5)
△ADE面積
2=(1/4)(5+√5)[(1/4)(1+√5)](1/4)(3-√5)=(1/32)(5+√5)
△ADE面積=(1/8)√(10+2√5)
AE=AB (已知)
∠AED=∠ABC (已知)
ED=BC (已知)
∴△AED≡△ABC (SAS)
△ABC面積=△ADE面積=(1/8)√(10+2√5)
△ACD面積=(1/2)(CD)(AH)=√[(5+2√5)/16]
正五邊形ABCDE面積=△ADE面積+△ABC面積+△ACD面積
=(1/4)√(10+2√5)+(1/4)√(5+2√5)
=(1/4)[√(10+2√5)+√(5+2√5)]