．張海潮
天 文 物 理 學 家 丘 宏 義 在 為 《 Coming of Age in the Milky Way》 中 譯 本 寫 的 導 讀 中 ， 談 到 了 一 則 數 學 家 陳 省 身 私 下 對 愛 因 斯 坦 統 一 場 論 的 評 語 ， 陳 省 身 說 ： 「 我 不 知 道 他 的 物 理 如 何 ， 可 是 數 學 不 過 如 此 。 」
愛 因 斯 坦 （ 一 八 七 九 － 一 九 五 五 ） ， 人 類 歷 史 上 第 一 位 深 刻 認 識 時 空 的 物 理 學 家 ， 他 的 數 學 功 力 究 竟 如 何 ？ 照 愛 氏 自 己 的 說 法 ， 他 在 十 六 歲 之 前 就 已 經 學 會 了 歐 氏 幾 何 和 微 積 分 ， 不 過 由 於 對 物 理 的 興 趣 ， 愛 氏 一 直 把 數 學 看 成 是 提 供 物 理 思 考 的 語 言 和 協 助 物 理 理 論 推 演 的 工 具 。 這 和 一 般 數 學 家 把 數 學 本 身 作 為 研 究 對 象 的 態 度 大 不 相 同 。
但 是 ， 愛 氏 年 輕 時 對 數 學 的 看 法 到 了 後 來 卻 有 相 當 大 的 轉 變 。 一 九 三 三 年 在 牛 津 大 學 演 講 「 理 論 物 理 方 法 」 時 ， 他 說 ： 「 我 堅 信 純 粹 數 學 的 建 構 可 以 使 我 們 發 現 觀 念 和 聯 繫 觀 念 之 間 的 法 則 ， 開 啟 我 們 對 自 然 現 象 的 理 解 … … 」
可 能 因 為 這 種 想 法 過 分 強 調 了 數 學 在 理 解 自 然 規 律 過 程 中 的 主 導 性 ， 許 多 物 理 學 家 並 不 贊 同 。
其 實 愛 因 斯 坦 對 數 學 的 推 崇 與 他 研 究 廣 義 相 對 論 時 的 數 學 體 驗 有 關 。
一 九 一 三 年 ， 愛 氏 和 蘇 黎 世 工 業 大 學 的 數 學 教 授 格 羅 斯 曼 在 德 國 《 數 學 和 物 理 期 刊 》 共 同 發 表 了 第 一 篇 有 關 廣 義 相 對 論 的 論 文 。 這 篇 文 章 分 成 物 理 和 數 學 兩 部 分 ， 分 由 愛 因 斯 坦 和 格 羅 斯 曼 執 筆 。 根 據 愛 氏 在 普 林 斯 頓 的 同 事 派 依 斯 的 回 憶 ， 愛 氏 由 於 了 解 到 所 有 的 座 標 系 統 都 是 等 效 的 ， 因 此 求 助 於 格 羅 斯 曼 是 否 有 一 套 新 的 幾 何 學 來 處 理 座 標 變 換 的 種 種 問 題 。 格 羅 斯 曼 找 到 了 「 黎 曼 幾 何 （ 又 稱 微 分 幾 何 ） 」 的 理 論 架 構 ， 幫 助 愛 因 斯 坦 完 成 了 這 篇 論 文 數 學 的 部 分 。 愛 氏 在 另 一 篇 文 章 〈 廣 義 相 對 論 的 基 礎 〉 中 也 特 別 提 到 「 … … 感 謝 我 的 朋 友 數 學 家 格 羅 斯 曼 ， 他 不 僅 幫 我 研 究 了 有 關 的 數 學 文 獻 ， 並 且 在 探 索 重 力 場 方 程 式 方 面 也 給 了 我 大 力 的 支 持 。 」
為 什 麼 黎 曼 幾 何 學 在 時 空 的 研 究 中 如 此 重 要 ？ 在 牛 頓 的 時 代 ， 時 間 和 空 間 是 分 開 的 概 念 ， 空 間 中 的 許 多 現 象 都 是 以 歐 氏 幾 何 為 基 礎 來 理 解 的 。 這 樣 的 理 解 可 以 充 分 涵 蓋 慣 性 座 標 系 的 概 念 。 但 是 到 了 愛 因 斯 坦 ， 時 空 已 然 糾 結 在 一 塊 ， 變 成 了 一 個 四 維 的 連 續 統 ， 再 加 上 所 謂 的 「 等 效 原 理 」 把 重 力 場 等 同 於 加 速 度 場 之 後 ， 物 理 定 律 的 考 量 不 能 只 限 於 慣 性 座 標 系 。 簡 單 的 說 ， 一 旦 開 始 考 量 一 般 的 座 標 變 換 ， 就 必 須 走 出 歐 氏 幾 何 ， 迎 向 一 個 更 寬 廣 的 幾 何 概 念 。 這 個 新 的 幾 何 概 念 先 是 發 端 於 高 斯 （ Gauss） 的 曲 面 論 ， 再 由 黎 曼 （ Riemann） 推 廣 到 最 一 般 的 空 間 。
一 八 五 四 年 ， 黎 曼 面 對 哥 延 根 大 學 教 授 團 （ 當 天 高 斯 也 列 席 其 中 ） 發 表 擔 任 「 不 支 薪 講 師 」 的 就 職 演 講 ， 演 講 的 題 目 是 「 論 幾 何 學 基 礎 的 假 說 」 ， 這 篇 演 講 闡 明 了 幾 何 的 意 義 ， 揚 棄 了 歐 氏 幾 何 的 包 袱 ， 在 比 歐 氏 幾 何 更 深 刻 的 思 想 基 礎 下 ， 大 步 向 前 ， 為 日 後 微 分 幾 何 （ 黎 曼 幾 何 ） 的 發 展 指 出 了 重 要 的 方 向 。
在 經 歷 了 嶄 新 的 數 學 體 驗 之 後 ， 愛 因 斯 坦 已 經 能 夠 自 在 的 使 用 黎 曼 幾 何 所 發 展 出 來 的 一 套 愛 氏 稱 之 為 張 量 分 析 的 計 算 方 法 ， 這 套 計 算 方 法 之 於 廣 義 相 對 論 就 如 同 微 積 分 之 於 牛 頓 力 學 一 樣 自 然 。 一 九 二 二 年 十 二 月 愛 因 斯 坦 在 京 都 的 演 講 談 到 「 如 果 所 有 的 系 統 都 是 等 效 的 ， 那 麼 歐 氏 幾 何 就 無 法 全 然 成 立 。 但 是 捨 去 幾 何 而 留 下 物 理 定 律 ， 就 好 像 捨 去 語 言 而 留 下 思 想 。 我 們 必 須 在 表 達 思 想 之 前 找 到 語 言 ， 我 們 到 底 能 找 到 什 麼 語 言 ？ 一 直 到 一 九 一 二 年 的 某 一 天 ， 我 突 然 想 到 解 開 秘 密 的 鑰 匙 就 是 高 斯 的 曲 面 論 … … 不 過 那 時 我 還 不 知 道 其 實 黎 曼 已 經 為 幾 何 立 下 了 更 深 刻 的 基 礎 … … 我 終 於 認 識 到 幾 何 學 的 基 礎 在 物 理 上 的 重 要 性 … … 我 問 我 的 朋 友 （ 格 羅 斯 曼 ） 黎 曼 的 理 論 是 否 能 解 答 我 的 問 題 。 」 愛 氏 的 問 題 一 言 以 蔽 之 ， 就 是 從 黎 曼 幾 何 的 理 論 出 發 ， 時 空 的 幾 何 本 質 是 否 能 充 分 反 映 時 空 的 物 理 。
從 愛 因 斯 坦 在 不 同 場 合 所 談 到 的 數 學 體 驗 ， 我 們 不 難 理 解 為 什 麼 他 會 如 此 讚 美 數 學 。 最 大 的 原 因 是 當 他 發 現 了 整 個 時 空 的 奧 秘 就 在 「 等 效 原 理 」 的 時 候 （ 愛 氏 自 稱 這 是 他 「 一 生 中 最 令 人 快 樂 的 想 法 」 ） 他 需 要 一 套 語 言 來 幫 他 說 出 ， 在 尋 尋 覓 覓 的 過 程 中 ， 沒 有 想 到 在 半 個 世 紀 之 前 黎 曼 已 經 幫 他 打 點 好 了 一 個 完 美 的 數 學 結 構 ， 默 默 的 等 待 巨 人 愛 因 斯 坦 的 來 臨 。 要 知 道 在 黎 曼 死 後 ， 一 直 到 愛 因 斯 坦 ， 微 分 幾 何 （ 黎 曼 幾 何 ） 並 非 當 時 數 學 發 展 的 主 流 ， 但 是 由 於 愛 因 斯 坦 在 廣 義 相 對 論 中 引 用 了 大 量 的 張 量 分 析 論 證 物 理 結 論 ， 得 出 革 命 性 的 看 法 ， 引 起 全 世 界 物 理 學 家 、 哲 學 家 和 數 學 家 的 濃 厚 興 趣 ， 直 接 的 促 進 了 黎 曼 幾 何 的 發 展 。 緊 接 著 下 來 ， 在 一 九 一 七 年 義 大 利 的 數 學 家 列 維 － 齊 維 塔 成 功 的 把 向 量 的 平 移 概 念 引 進 了 彎 曲 的 空 間 ， 可 說 是 黎 曼 幾 何 發 展 中 最 重 要 的 一 個 里 程 碑 。
愛 因 斯 坦 一 生 從 未 發 表 任 何 數 學 論 文 ， 他 所 關 心 的 是 物 理 問 題 ， 但 是 他 對 黎 曼 幾 何 （ 微 分 幾 何 ） 的 貢 獻 可 能 超 過 當 代 許 多 幾 何 學 家 ， 因 為 他 的 研 究 告 訴 我 們 如 何 透 過 物 理 來 認 識 幾 何 ， 闡 明 了 古 典 歐 氏 幾 何 和 近 代 微 分 幾 何 在 理 解 物 理 時 所 扮 演 的 角 色 。
