[分享]不會算

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~風之男~ 於 星期二 十月 05, 2004 9:01 pm


某數大於 20 , 除 113 餘 5 , 除 187 餘 7 , 則此數是?


一個自然數 , 被 3 除餘 1 , 被 5 除餘 3 , 被 7 除餘 5 , 則最小的數是?

一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 , 被 8 除餘 7 , 則最小的數是?

~風之男~
研究生
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文章: 113
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來自: 拉普達

XXX 於 星期二 十月 05, 2004 9:52 pm


1.
113-5=108
187-7=180
(108,180)=36
Ans:36....

2.
[3,5,7]=105
3-1=5-3=7-5=2
105-2=103
Ans:103....

3.
[4,5,8]=40
4-3=5-4=8-7=1
40-1=39
Ans:39....

過程或許需要研究一下....

因為比較不會解釋=.=....

答案應該沒錯=.=....

XXX
教 授
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文章: 683
註冊時間: 2004-06-24
來自: 未知

J+W 於 星期二 十月 05, 2004 10:45 pm


這裡有其他人的討論

http://www.mathland.idv.tw/board/memo.asp?srcid=10940&bname=ASP

品味別人的解題方式
是一種加強實力的最好方式

我也提供我的作法給你看

先以最簡單的2個為例:

一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 ,  則最小的數是?

觀察題目首先發現這2種除法的不足數都相同

所謂的不足數指的是
例如:
被4除餘3 → +1便能整除 → 被4除不足數是1
被5除餘4 → +1便能整除 → 被5除不足數是1

(1)被4除不足1的數可以寫成這樣的形式
例如:
4×1-1=3
4×2-1=7
4×3-1=11
4×4-1=15
4×5-1=19
.....依此類推

(2)被5除不足1的數可以寫成這樣的形式
例如:
5×1-1=4
5×2-1=9
5×3-1=14
5×4-1=19
5×5-1=24
.....依此類推

發現
符合條件的最小數剛好是
〔5,4〕-1=19

但是為何剛好是〔5,4〕-1=19?
因為第1組數
3,7,11,15,19,....可視為
4,8,12,16,20,....這組數每一個數都減1的結果
同理
第2組數
4,9,14,19,24,....可視為
5,10,15,20,25,....這組數每一個數都減1的結果

我們知道  
4,8,12,16,20,....這組數是4的倍數  
5,10,15,20,25,....這組數是5的倍數
兩組數出現相同數字時,便是公倍數
這是國小已經教過的列舉法

所以
3,7,11,15,19,....
4,9,14,19,24,....
這2組數可以先變形為
4,8,12,16,20,....  
5,10,15,20,25,....
這2組數去算會出現的相同數字
最後在減1回來便可

而上述的方法可以用這個來解釋
但是卻不是每1題都適合用這個方法來算
因為這種方法太沒有效率了

懂了這個道理之後
你便可以把題目模組化來算

例3:一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 , 被 8 除餘 7 , 則最小的數是?
(最速解) 〔4,5,8〕-1=40-1=39

例2:一個自然數 , 被 3 除餘 1 , 被 5 除餘 3 , 被 7 除餘 5 , 則最小的數是?
(最速解) 〔3,5,7〕-2=105-2=103

例1:某數大於 20 , 除 113 餘 5 , 除 187 餘 7 , 則此數是?
此題作法和上述不同
但不適合目前的國一生

J+W
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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30

J+W 於 星期三 十月 06, 2004 9:40 am


推廣:其實光知道最小的數是”最小公倍數-不足數”的形式是不夠的
我們不禁要問?
(1)那符合條件的數有幾個呢?
(2)第2個,第3個,...怎麼算呢?

有倍數觀念的人,應該可以理解第(1)題的答案是無限多個的
那第(2)題呢?

再以上題為例:
一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 , 則第二小的數是?

3,7,11,15,19,....
4,9,14,19,24,....
這2組數可以先變形為
4,8,12,16,20,....
5,10,15,20,25,....
這2組數
再去算第2個出現的相同數字
第2個數字剛好是〔5,4〕×2=40...第2個公倍數
所以第2小的數可以表示為
〔5,4〕×2-1=39

所以我們發現
以後這樣的數字都可以表示為
〔5,4〕×k-1
k表示倍數
如果是1,便是1倍
如果是2,便是2倍
....依此類推....

如果有不懂的,歡迎提出來問!


此類題目因學習階段不同
可以學習到許多不同方法
當你學到更多時
你會更瞭解
數學的樂趣

J+W
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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30

571 於 星期三 十月 06, 2004 11:25 pm


例1:某數大於 20 , 除 113 餘 5 , 除 187 餘 7 , 則此數是?

※先了解『25至少要加上多少或減去多少,才能被7整除』這觀念:
25÷7=3......4
問題1:至少要加上多少?
加上餘數與除數的差,這代表『不足4』的意思。
最少加上3就可以被7整除。
25+3=28
28÷7=4
第二個數只要在多加7即可被整除
3+7=10       (第二個數)
3+7+7=17    (第三個數)
3+7+7+7=24 (第四個數)
依此類推,可以加到無窮大。
問題2:至少減去多少?
將餘數4拿掉,也就是減掉4,就可以被7整除。
25-4=21
21÷7=3
第二個數多減7即可被整除,
4+7=11        (第二個數)
4+7+7=18     (第三個數)
4+7+7+7=25  (第四個數)
※若不考慮負數,則只有四個數。
(國小過與不足的觀念)

回至本題
某數□
   113÷□=商.......5
※113只要減去5就能被□整除
    113-5=108
   187÷□=商.......7
※187只要減去7就能被□整除
    187-7=180
   108÷□=商........0(整除)
    180÷□=商........0(整除)
※此時□為108和180的公因數,先求出最大公因數,再將最大公因數作因數分解,因為最大公因數的因數也是108和180的公因數。
    (108,180)=36
   36:1,2,3,4,6,9,12,18,36
※題目指出某數大於20,所以1,2,3,4,6,9,12,18皆不符合,答案只剩一個36。
    1,2,3,4,6,9,12,18不合
    答:36

註:若本題沒說某數大於20,則請注意原題意,『除113餘5 , 除187餘7』,餘數不得大於除數的定義。
       則要以較大的餘數7為標準,這樣才能同時滿足(除數同時大於5跟7),公因數小於或等於餘數的都不符合,所以1,2,3,4,6皆不符合,答案有9,12,18,36四種可能。

571
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文章: 24
註冊時間: 2004-09-30






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