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某數大於 20 , 除 113 餘 5 , 除 187 餘 7 , 則此數是？


一個自然數 , 被 3 除餘 1 , 被 5 除餘 3 , 被 7 除餘 5 , 則最小的數是？

一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 , 被 8 除餘 7 , 則最小的數是？

1.
113-5=108
187-7=180
(108,180)=36
Ans:36....

2.
[3,5,7]=105
3-1=5-3=7-5=2
105-2=103
Ans:103....

3.
[4,5,8]=40
4-3=5-4=8-7=1
40-1=39
Ans:39....

過程或許需要研究一下....

因為比較不會解釋=.=....

答案應該沒錯=.=....

這裡有其他人的討論

http://www.mathland.idv.tw/board/memo.asp?srcid=10940&bname=ASP

品味別人的解題方式
是一種加強實力的最好方式

我也提供我的作法給你看

先以最簡單的2個為例：

一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 ,  則最小的數是？

觀察題目首先發現這2種除法的不足數都相同

所謂的不足數指的是
例如：
被4除餘3 → +1便能整除 → 被4除不足數是1
被5除餘4 → +1便能整除 → 被5除不足數是1

(1)被4除不足1的數可以寫成這樣的形式
例如：
4×1-1＝3
4×2-1＝7
4×3-1＝11
4×4-1＝15
4×5-1＝19
.....依此類推

(2)被5除不足1的數可以寫成這樣的形式
例如：
5×1-1＝4
5×2-1＝9
5×3-1＝14
5×4-1＝19
5×5-1＝24
.....依此類推

發現
符合條件的最小數剛好是
〔5,4〕-1＝19

但是為何剛好是〔5,4〕-1＝19？
因為第1組數
3,7,11,15,19,....可視為
4,8,12,16,20,....這組數每一個數都減1的結果
同理
第2組數
4,9,14,19,24,....可視為
5,10,15,20,25,....這組數每一個數都減1的結果

我們知道  
4,8,12,16,20,....這組數是4的倍數  
5,10,15,20,25,....這組數是5的倍數
兩組數出現相同數字時,便是公倍數
這是國小已經教過的列舉法

所以
3,7,11,15,19,....
4,9,14,19,24,....
這2組數可以先變形為
4,8,12,16,20,....  
5,10,15,20,25,....
這2組數去算會出現的相同數字
最後在減1回來便可

而上述的方法可以用這個來解釋
但是卻不是每1題都適合用這個方法來算
因為這種方法太沒有效率了

懂了這個道理之後
你便可以把題目模組化來算

例3：一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 , 被 8 除餘 7 , 則最小的數是？
（最速解） 〔4,5,8〕-1＝40-1=39

例2：一個自然數 , 被 3 除餘 1 , 被 5 除餘 3 , 被 7 除餘 5 , 則最小的數是？
（最速解） 〔3,5,7〕-2＝105-2=103

例1：某數大於 20 , 除 113 餘 5 , 除 187 餘 7 , 則此數是？
此題作法和上述不同
但不適合目前的國一生

推廣：其實光知道最小的數是”最小公倍數-不足數”的形式是不夠的
我們不禁要問？
（1）那符合條件的數有幾個呢？
（2）第2個,第3個,...怎麼算呢？

有倍數觀念的人,應該可以理解第（1）題的答案是無限多個的
那第（2）題呢？

再以上題為例：
一個自然數 , 被 4 除餘 3 , 被 5 除餘 4 , 則第二小的數是？

3,7,11,15,19,....
4,9,14,19,24,....
這2組數可以先變形為
4,8,12,16,20,....
5,10,15,20,25,....
這2組數
再去算第2個出現的相同數字
第2個數字剛好是〔5,4〕×2＝40...第2個公倍數
所以第2小的數可以表示為
〔5,4〕×2－1＝39

所以我們發現
以後這樣的數字都可以表示為
〔5,4〕×k－1
k表示倍數
如果是1,便是1倍
如果是2,便是2倍
....依此類推....

如果有不懂的,歡迎提出來問！


此類題目因學習階段不同
可以學習到許多不同方法
當你學到更多時
你會更瞭解
數學的樂趣

例1：某數大於 20 , 除 113 餘 5 , 除 187 餘 7 , 則此數是？

※先了解『25至少要加上多少或減去多少，才能被7整除』這觀念：
25÷7＝3......4
問題1:至少要加上多少？
加上餘數與除數的差，這代表『不足4』的意思。
最少加上3就可以被7整除。
25＋3＝28
28÷7＝4
第二個數只要在多加7即可被整除
3＋7＝10       （第二個數）
3＋7＋7＝17    （第三個數）
3＋7＋7＋7＝24 （第四個數）
依此類推，可以加到無窮大。
問題2:至少減去多少？
將餘數4拿掉，也就是減掉4，就可以被7整除。
25－4＝21
21÷7＝3
第二個數多減7即可被整除，
4＋7＝11        （第二個數）
4＋7＋7＝18     （第三個數）
4＋7＋7＋7＝25  （第四個數）
※若不考慮負數，則只有四個數。
（國小過與不足的觀念）

回至本題
某數□
   113÷□＝商.......5
※113只要減去5就能被□整除
    113－5＝108
   187÷□＝商.......7
※187只要減去7就能被□整除
    187－7＝180
   108÷□＝商........0（整除）
    180÷□＝商........0（整除）
※此時□為108和180的公因數，先求出最大公因數，再將最大公因數作因數分解，因為最大公因數的因數也是108和180的公因數。
    (108,180)=36
   36：1,2,3,4,6,9,12,18,36
※題目指出某數大於20，所以1,2,3,4,6,9,12,18皆不符合，答案只剩一個36。
    1,2,3,4,6,9,12,18不合
    答：36

註：若本題沒說某數大於20，則請注意原題意，『除113餘5 , 除187餘7』，餘數不得大於除數的定義。
       則要以較大的餘數7為標準，這樣才能同時滿足（除數同時大於5跟7），公因數小於或等於餘數的都不符合，所以1,2,3,4,6皆不符合，答案有9,12,18,36四種可能。