幫解一題:
(4)
設實數 x 滿足 x² - 8[x] + 7 = 0,
則
8[x] = x² + 7 ................ (*)
因為 [x] 為不大於 x 的最大整數,
所以
x - 1 < [x] ≦ x。
由 (*) 得 [x] = (x² + 7)/8,代入以上不等式,
得
x - 1 < (x² + 7)/8 ≦ x。
解以上不等式:
8x - 8 < x² + 7 ≦ 8x
8x - 8 < x² + 7 且 x² + 7 ≦ 8x
x² - 8x + 15 > 0 且 x² - 8x + 7 ≦ 0
(x - 5)(x - 3) > 0 且 (x - 7)(x - 1) ≦ 0
( x > 5 或 x < 3 ) 且 1 ≦ x ≦ 7
1 ≦ x < 3 或 5 < x ≦ 7 ................ (**)
所以
1 ≦ x² < 9 或 25 < x² ≦ 49
8 ≦ x² + 7 < 16 或 32 < x² + 7 ≦ 56
由 (*) 知 x² + 7 為 8 的倍數,所以由上式得
x² + 7 = 8, 40, 48, 56
x² = 1, 33, 41, 49
x = 1, √33, √41, 7 〔-1, -√33, -√41, -7 皆不符合 (**)〕
故方程式 x² - 8[x] + 7 = 0 共有 4 個實數解。 ■
附圖:
上圖中,a = √33,b = √41,函數 f(x) = x² - 8[x] + 7。