令x(t) 為一曲線, x(0) =a, x(1)=b, 而且 ||x(t)||=||a|| for all t
(即在同半徑球面上用曲線x(t)把a和b連起來)
因為
對t微分可得:
現在看函數f在這曲線上的值: f(x(t)) 怎麼變化
故知: f(x(t)) 為常數, 故 f(x(0))=f(x(1)), 即 f(a)=f(b)
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由 eaglle 於 星期二 十月 21, 2014 2:12 pm
[為閱讀方便特別提醒, 以下的a, b, x, gradf 都是向量, 而 t, g(t) 為純量]
令x(t) 為一曲線, x(0) =a, x(1)=b, 而且 ||x(t)||=||a|| for all t
(即在同半徑球面上用曲線x(t)把a和b連起來)
因為\cdot x(t) =||x(t)||^{2}=||a||=constant)
對t微分可得:\cdot\frac{d}{dx}x(t)=0, \forall t)
現在看函數f在這曲線上的值: f(x(t)) 怎麼變化
) = gradf \cdot \frac{d}{dx}x(t) = g(x) x\cdot \frac{d}{dx}x(t) = 0, \forall t)
故知: f(x(t)) 為常數, 故 f(x(0))=f(x(1)), 即 f(a)=f(b)
令x(t) 為一曲線, x(0) =a, x(1)=b, 而且 ||x(t)||=||a|| for all t
(即在同半徑球面上用曲線x(t)把a和b連起來)
因為
對t微分可得:
現在看函數f在這曲線上的值: f(x(t)) 怎麼變化
故知: f(x(t)) 為常數, 故 f(x(0))=f(x(1)), 即 f(a)=f(b)
[大學]向量微積分
由 alex952158 於 星期一 三月 24, 2014 12:07 pm
f: R3 → R, and f 可微分
g: R3 → R
x ∈ R3
and grad(f(x)) = g(x) (x)
證明: 如果 a, b ∈ R3 and ||a|| = ||b|| then f(a) = f(b)
g: R3 → R
x ∈ R3
and grad(f(x)) = g(x) (x)
證明: 如果 a, b ∈ R3 and ||a|| = ||b|| then f(a) = f(b)