也可以利用函數圖形的性質來解題。
令 f(x) = x^4 + 2(k+1)x² + k² - 3k + 2
1:考慮 k > -1 的情況。
因為 k > -1,所以 k + 1 > 0。
若 b > a ≧ 0,則 f(b) - f(a) = (b^4 - a^4) + 2(k+1)(b² - a²) > 0。
所以 f 在 [0,∞) 為嚴格遞增函數。
注意 f 為偶函數,所以 y = f(x) 的圖形對稱於 y 軸,
所以 f 在 (-∞,0] 為嚴格遞減函數。
故 f(0) 為 f 的最小值,且唯有在 f(0) < 0 時,
方程式 f(x) = 0 才會有兩個相異實根(另兩個共軛虛根)。
f(0) = k² - 3k + 2 = (k-1)(k-2)
f(0) < 0 <=> 1 < k < 2
所以,
1 < k < 2 符合所求。
2:考慮 k ≦ -1 的情況。
f(x)
= x^4 + 2(k+1)x² + k² - 3k + 2
= (x²)² + 2(k+1)x² + (k+1)² - 5k + 1
= [x² + (k+1)]² - 5k + 1
≧ -5k + 1
≧ 6 (∵ k ≦ -1, ∴ -5k ≧ 5, ∴ -5k + 1 ≧ 6)
> 0
所以 f(x) 恆大於零,因此
方程式 f(x) = 0 不可能有實根。
綜合 (1), (2),滿足題意的 k 值範圍為 1 < k < 2。 ■
參考圖形: