令 半徑 AB = b (B為圓心), 中圓(C為圓心)的半徑 CE = c, 小圓(D為圓心) 的半徑 = d
則 BC = b+c, BD=b+d, CD=c+d, 圓A的半徑=2b
因為圓C與圓A內切, 所以 所以ACI共線, AC = AI - CI = 2b - c
同理, 圓D與圓A內切, 所以 AD = AG - DG = 2b -d
輔助線CF⊥AB, CE⊥AE, 所以 AF=CE=c
ΔBCF 與 ΔACF為直角三角形, 所以
(b+c)
2 - (b-c)
2 = (2b-c)
2 - c
2
4bc = 4b
2 - 4bc
b = 2c
所以 AC = 3c = BC, CF = 2√2c
令 角EAC = θ, 角CAD = α, 角DAB = β
則 θ+α+β = 90° , sin θ = 1/3 = cos (α+β)
對ΔCAD而言,
cos α = (AC
2 + AD
2 - CD
2)/2/AC/AD = [(4c-d)
2 + (3c)
2 - (c+d)
2]/2/(4c-d)/(3c) = (12c-5d)/3/(4c-d)
對ΔDAB而言,
cos β = (AD
2 + AB
2 - BD
2)/2/AD/AB = [(4c-d)
2 + (2c)
2 - (2c+d)
2]/2/(4c-d)/(2c) = (4c-3d)/(4c-d)
三角恆等式:
cos(α+β) = cos(α) cos(β) - sin(α) sin(β)
所以,
[sin(α) sin(β)]
2 = [cos(α) cos(β) - cos(α+β)]
2 = [cos(α) cos(β) - 1/3]
2
[1-cos
2(α)][1-cos
2(β)] = cos
2(α) cos
2(β) - 2cos(α) cos(β)/3 + 1/9
1 - cos
2(α) -cos
2(β) = 1/9 - 2cos(α) cos(β)/3
8(4c-d)
2 = (12c-5d)
2 + 9(4c-3d)
2 - 2(12c-5d)(4c-3d)
17d
2 - 40cd + 16c
2 = 0
d/c = (20-8√2)/17 (≈0.51096)
註: 看不出有其它更簡單的方法可解此題, 並不難解(用畢式定理即可), 只是要有耐心.