過D作圓O的切線,分別交AB,AC於M,N.
則三角形ABC與AMN相似.
兩個三角形的是由一定比例做相似變化r得到
即,r=AB/AM
因此只要證明AI/AO=AB/AM,點I就變化成點O,且點O為AMN內心,
所以I會是ABC內心.
然而,
AI/AP=AD/AM=AP/AO,AD^2/AM^2=AI/AO,
AD/AM=AB/AD=>AD^2=AB*AM
所以,AI/AO=AD^2/AM^2=AB*AM/AM^2=AB/AM
根據上面的討論,命題得證.
另外,這道題目為IMO考古題,當AB不等於AC時結論亦成立,留給大家證明.
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由 宇智波鼬 於 星期二 七月 10, 2007 10:39 pm
[數學]幾何題..(89)
由 ☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期一 七月 09, 2007 10:48 pm
如圖
在三角形ABC中
AB=AC
有一個圓O內切於三角形ABC外接圓
並分別與AB、AC相切於P、Q
求證：PQ中點I恰為三角形ABC內心