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發表 大嘴 於 星期二 二月 28, 2006 10:07 pm

謝謝提醒,  忽略兩個地方.  修正如下:

多項式f(x)為實係數, 則y= f(x) 在平面(x, y)上為一連續曲線.
f(x)=0的實根個數為y=f(x)曲線與x軸的交點個數. 如果相交是切線, 則為重根, 實根個數算二.
f(a)*f(b)< 0,則f(a)與f(b)在x軸的異側,
由拓樸幾何知: 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有奇數交點(若是切線 則算重疊兩點)
故在a~b之間有奇數個實根

f(a)*f(b)> 0,則f(a)與f(b)在x軸的同側,
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有偶數交點(若是切線 則算重疊兩點)
故在a~b之間有偶數個實根

發表 qeypour 於 星期二 二月 28, 2006 6:09 pm

大嘴 寫到:證:#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#多項式f(x)為實係數, 則y= f(x) 在平面(x, y)上為一連續曲線.#ed_op#BR#ed_cl#f(x)=0的實根,為y=f(x)曲線與x軸的交點.#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#f(a)*f(b)&lt; 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的異側#ed_op#BR#ed_cl#由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有奇數交點,#ed_op#BR#ed_cl#故在a~b之間有奇數個實根.#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#f(a)*f(b)&gt; 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的同側#ed_op#BR#ed_cl#由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有偶數交點#ed_op#BR#ed_cl#故在a~b之間有偶數個實根.
#ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT face=Verdana#ed_cl#若以圖形交點的觀點來說明堪根定理#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#y=f(x)與x軸奇數個交點,導致f(x)=0有奇數個實根#ed_op#BR#ed_cl#y=f(x)與x軸偶數個交點,導致f(x)=0有偶數個實根#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#這樣的觀點似乎不恆真#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#例如f(x)=(x-1)^2*(x-2)與x軸交2點,f(x)=0卻有三個實根#ed_op#BR#ed_cl#怎麼會這樣? #ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl#

發表 大嘴 於 星期二 二月 28, 2006 2:18 pm

證:

多項式f(x)為實係數, 則y= f(x) 在平面(x, y)上為一連續曲線.
f(x)=0的實根,為y=f(x)曲線與x軸的交點.

f(a)*f(b)< 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的異側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有奇數交點,
故在a~b之間有奇數個實根.

f(a)*f(b)> 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的同側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有偶數交點
故在a~b之間有偶數個實根.

[問題]堪根定理

發表 qeypour 於 星期二 二月 28, 2006 12:10 am

#ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT face=Verdana#ed_cl#實係數多項式f(x),a,b為相異實數#ed_op#BR#ed_cl#試證#ed_op#BR#ed_cl#(1)f(a)*f(b)&lt; 0,則f(x)=0必有奇數個實根在a~b之間#ed_op#BR#ed_cl#(2)f(a)*f(b)&gt; 0,則f(x)=0必有偶數個實根在a~b之間#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl#