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qeypour 寫到:

galaxylee 寫到:很容易可以證明下面命題：
a,b,c是有理數，√c 是無理數，若f(x)是有理係數多項式，且f(a+b√c )=M+N√c
則 f(a-b√c )=M-N√c推論：若f(a+b√c )=0，則f(a-b√c )=0，即若a+b√c是f(x)=0的根，則a-b√c也是f(x)=0的根

請問galaxylee兄是否用二項式定理證紅色部份?

沒錯！用二項式定理及數學歸納法(若要嚴格的話)就可以證明
例如：若(1+√3)^n=M+N√3，則(1-√3)^n=M-N√3

qeypour 寫到:f(x)為有理係數n次多項式,n>=2
a,b,c為有理數,sqrt(c)為正無理數
試證
若a+b*sqrt(c)為f(x)=0之一根,則a-b*sqrt(c)為f(x)=0之另一根

完整的證明，請翻書！！
比較特殊的，我假設在二次多項式的問題說明，三次以上需考量更多細節。
把你的問題改成比較好做一點，
你的問題是有理係數，f(x)，將f(x)乘上所有係數分母的最小公倍數，所得的函數，並不會改變原函數的的根值，而所得的函數，其係數為整係數的多項式。（degree = 2）
若a+b*sqrt(c)為f(x)=0之一根,則a-b*sqrt(c)為f(x)=0之另一根

（平方整理後）

（帶入）
（即為你所求）
要說明更高次的問題，需要（1）H(x) 是唯一   （2）H(x) 是f(x)的因式。
想要更詳細，或更完整建議你可翻代數學。

galaxylee 寫到:很容易可以證明下面命題：
a,b,c是有理數，√c 是無理數，若f(x)是有理係數多項式，且f(a+b√c )=M+N√c
則 f(a-b√c )=M-N√c推論：若f(a+b√c )=0，則f(a-b√c )=0，即若a+b√c是f(x)=0的根，則a-b√c也是f(x)=0的根

請問galaxylee兄是否用二項式定理證紅色部份?

很容易可以證明下面命題：
a,b,c是有理數，√c 是無理數，若f(x)是有理係數多項式，且f(a+b√c )=M+N√c
則 f(a-b√c )=M-N√c

推論：若f(a+b√c )=0，則f(a-b√c )=0，即若a+b√c是f(x)=0的根，則a-b√c也是f(x)=0的根

f(x)為有理係數n次多項式,n>=2
a,b,c為有理數,sqrt(c)為正無理數
試證
若a+b*sqrt(c)為f(x)=0之一根,則a-b*sqrt(c)為f(x)=0之另一根