例1:某數大於 20 , 除 113 餘 5 , 除 187 餘 7 , 則此數是?
※先了解『25至少要加上多少或減去多少,才能被7整除』這觀念:
25÷7=3......4
問題1:至少要加上多少?
加上餘數與除數的差,這代表『不足4』的意思。
最少加上3就可以被7整除。
25+3=28
28÷7=4
第二個數只要在多加7即可被整除
3+7=10 (第二個數)
3+7+7=17 (第三個數)
3+7+7+7=24 (第四個數)
依此類推,可以加到無窮大。
問題2:至少減去多少?
將餘數4拿掉,也就是減掉4,就可以被7整除。
25-4=21
21÷7=3
第二個數多減7即可被整除,
4+7=11 (第二個數)
4+7+7=18 (第三個數)
4+7+7+7=25 (第四個數)
※若不考慮負數,則只有四個數。
(國小過與不足的觀念)
回至本題
某數□
113÷□=商.......5
※113只要減去5就能被□整除
113-5=108
187÷□=商.......7
※187只要減去7就能被□整除
187-7=180
108÷□=商........0(整除)
180÷□=商........0(整除)
※此時□為108和180的公因數,先求出最大公因數,再將最大公因數作因數分解,因為最大公因數的因數也是108和180的公因數。
(108,180)=36
36:1,2,3,4,6,9,12,18,36
※題目指出某數大於20,所以1,2,3,4,6,9,12,18皆不符合,答案只剩一個36。
1,2,3,4,6,9,12,18不合
答:36
註:若本題沒說某數大於20,則請注意原題意,『除113餘5 , 除187餘7』,餘數不得大於除數的定義。
則要以較大的餘數7為標準,這樣才能同時滿足(除數同時大於5跟7),公因數小於或等於餘數的都不符合,所以1,2,3,4,6皆不符合,答案有9,12,18,36四種可能。