這是初等數學100道難題的第90題
Fagnano's Altitude Base Point Problem 法格乃諾關於高的基點的問題
若 △ABC 為銳角三角形, 周長最小的內接三角形為△DEF, 則D、E、F的分別為三高的垂足。
參考第6題的證明:
http://www.math.ncu.edu.tw/resource/teach/chen/files91/test91h-html/node6.html
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底下是直角和鈍角三角形的情形!
如圖,
∵∠A + ∠y + ∠z = ∠B + ∠z + ∠x = ∠C +∠ x + ∠y = 180 °
∴∠ x +∠y + ∠z =180 °
(2)若∠B=90°,∠x+∠y=90°∴ ∠z =90 °
∴△DEF一定是斜邊上的高!
(3)若∠B>90°,∠x+∠y<90°∴ ∠z >90 °∴ 2∠z >180 °
但2∠z ≦180 °,矛盾,∴內接△DEF不存在