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E在圓O上，使BOE為一直徑。連AE，BOE及CE。

AF⊥BC (已知)
OD⊥BC (已知)
∴BD=DC (圓心至弦的垂線平分弦)
BO=OE (半徑)
∴EC=2OD (中點定理)
∴OD//EC (中點定理)
∴AH//EC

∠AGC=90° (已知)
∴∠GBC+∠GCB=90° (三角形外角)
∵∠BCE=90° (半圓上的圓周角)
∴∠GCE+∠GCB=90°
∴∠GBC=∠GCE
∵∠ABC+∠AEC=180° (對角互補)
∴∠HCE+∠AEC=180°
∴AE//HC (同旁內角互補)
∴AHCE是一平行四邊形 (根據定義)
∴AH=EC (平行四邊形對邊)
∴AH=2OD

點O及H分別是三角形ABC的外心及垂心，D在BC上，使OD垂直BC。證明AH=2OD。