YLL討論網

great!

作△ABC的外接圓，延伸AD到F，使F在圓上。G在BF上，使EG垂直BF。連BF，CF，DF及EG。

AB=AC (已知)
∴∠ABC=∠ACB (等腰三角形底角)
∠AFC=∠ABC (同弓形內的圓周角)
∠AFB=∠ACB (同弓形內的圓周角)
∴∠BFD=∠CFD
∴FB/BD=FC/CD (角平分線比例定理)
∴BD/CD=BF/FC

∵∠BED=2∠CED=∠CAB (已知)
∠BAE=∠BCF (同弓形內的圓周角)
∠AEB=180°-∠BEF (直線上的鄰角)
∴∠AEB=180°-∠BAC
∠CFB=180°-∠BAC (對角互補)
∴∠AEB=∠CFB
∠EBA=180°-∠BAE-∠AEB (三角形內角和)
∠FBC=180°-∠BCF-∠CFB (三角形內角和)
∴∠EBA=∠FBC
∵∠ABC=∠EBA+∠EBC
∵∠EBF=∠EBC+∠FBC
∴∠ABC=∠EBF
∵∠ABC=∠CFD=∠BFD (已證)
∴∠EBF=∠EFB
∴EB=EF (等角對邊相等)
∠EGB=∠EGF=90° (已知)
EG=EG (公共邊)
∴△BEG≡△FEG (RHS)

BG=GF (全等三角形的對應邊)
∠BEG=∠FEG (全等三角形的對應角)
∵∠BED=2∠CED (已知)
∴∠BEG=∠FEG=∠CED
EF=EF (公共邊)
∠EFG=∠EFC (已證)
∴△EFG≡△EFC (ASA)
∴FG=FC (全等三角形的對應邊)
∴BG=GF=FC
∴BF=2FC

BD/CD=BF/FC=2FC/FC=2 (已證)
∴BD=2CD

用圓形

△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，E是AD上一點，使∠BED=2∠CED=∠CAB。證明BD=2CD。