利用座標加三角方法:
設B(1,0),C(-1,0),那麼|BC|=1-(-1)=2
因為三角形ABC的周界為BC長度的7倍
所以AB+BC+CA=7BC → AB+CA=6BC=6(2)=12
因此AB+CA總長為12
我們可以利用橢圓形,想像B,C為橢圓形的兩焦點,A為橢圓周上一點。
橢圓心在(0,0),因此長,短軸分別在x軸及y軸上
設長軸的兩頂點為(a,0)及(-a,0),短軸的兩頂點為(0,b)及(0,-b),a,b為正實數
因為(1,0)→(a,0)→(-1,0)總長為12,所以a=6
因為(1,0)→(0,b)→(-1,0)總長為12,所以b=√35
橢圓形方程式為: x
2/36+y
2/35=1
設A(6cosθ,√35sinθ),因為AB<AC,且設A在BC之上
AB+CA=12 ---(1)
AC斜率=(√35sinθ-0)/(6cosθ+1)=√35sinθ/(6cosθ+1)
AB斜率=(√35sinθ-0)/(6cosθ-1)=√35sinθ/(6cosθ-1)
設∠ACB=2α,∠ABC=2β,M為內心,0<α,β<90°,內心在第一象限
因此∠MCB=α,∠MBC=β
tan2α=√35sinθ/(6cosθ+1)
2tanα/(1-tan
2α)=√35sinθ/(6cosθ+1)
解之,得tanα=(√35/7)tan(θ/2)
tan2β=√35sinθ/(6cosθ-1)
2tanβ/(1-tan
2β)=√35sinθ/(6cosθ-1)
解之,得tanβ=-(√35/7)cot(θ/2)
MC方程式為:y=(√35/7)tan(θ/2)(x+1) ---(4)
MB方程式為:y=-(√35/7)cot(θ/2)(x-1) ---(5)
解(4),(5),得M[cosθ,(√35/7)sinθ]
因此E(cosθ,0),D[cosθ,(2√35/7)sinθ]
BC的中點為O(0,0),因此OA方程式為:y=(√35/6)xtanθ ---(6)
DE方程式為: x=cosθ ---(7)
解(6),(7),得F[cosθ,(√35/6)sinθ]
DF=(5/42)√35sinθ,FE=(1/6)√35sinθ
DF/FE=(5/42)/(1/6)=5/7