【第一題】
6位數的迴文數形式為:abccba
因為95能整除這6位數的迴文數,而且95=19*5
所以6位數的迴文數必為5的倍數,即是5或0,即是頭位和尾位數是5或0
但0不可以成為6位數的最頭位,所以頭位和尾位數只能是5
設6位數的迴文數=5bccb5
最大可能值=599995=6315*95+70
最小可能值=500005=5263*95+20
因此,5263≦除出來的答案≦6315
除出來的答案的範圍中:
千位數為5的迴文數有5335,5445,5555,5665,5775,5885,5995
千位數為6的迴文數有6006,6116,6226
但千位數為6時,個位數都為6,乘以95後的積的尾位數必為0,因此不符
故迴文數的千位數只能為5
5335*95=506825
5445*95=517275
5555*95=527725 (符合)
5665*95=538175
5775*95=548625
5885*95=559075
5995*95=569525
故6位數的迴文數=527725=5555*95
【第二題】
因為最後3張卡片都是3的倍數
設該7張卡片為「34」「46」「61」「79」「3a」「3b」「3c」
a≦b≦c
而且3a+3b+3c=180 → a+b+c=60
7張卡片總和=34+46+61+79+180=400
設每人得到的卡片和為k,剩下的為d
k+k+k+d=400
3k+d=400=3*133+1
因此d≡1(mod3)
如果剩下的是34
每人得到的卡片和=(400-34)/3=122
3a=122-79=43
3b=122-61=61
3c=122-46=76
43+61+76=180
如果剩下的是46
每人得到的卡片和=(400-46)/3=118
3a=118-79=39
3b=118-61=57
3c=118-46=72
39+57+72=168
如果剩下的是61
每人得到的卡片和=(400-61)/3=113
3a=113-79=34
3b=113-61=52
3c=113-46=67
34+52+67=153
如果剩下的是79
每人得到的卡片和=(400-79)/3=107
3a=107-79=28
3b=107-61=46
3c=107-46=61
28+46+61=135
因為沒有規定卡片數字不能重複,故剩下的是34符合題要
所以剩下的是34
【第三題】
鐵絲穿透1個小立方體有三種不同情況。其中A、B兩種是穿過相對兩面,A種平行於棱的方向穿過,B種斜
著穿過;C種則是穿過相鄰兩面。若增加7個小立方體,成較大立方體時,這個小立方體相對兩面中只能
有一個面與其他小立方體相鄰,也就是說只能考慮鐵絲在一個方向上繼續穿透其他小立方體。而這個小立
方體相鄰的兩面可以分別與其他小立方體相鄰,鐵絲可以沿兩個方向繼續穿透其他小立方體。因此,C種
情況是需要深入考慮的。(為了方便分析,將這個小立方體編為I號。)
考慮鐵絲紮進較大立方體時最多可以穿透幾個小立方體。如圖2所示,鐵絲沿斜上方向可繼續穿透II號小
立方體,沿斜下方向可繼續穿透III號、IV號小立方體。因此,共可穿透4個小立方體。
考慮鐵絲紮進27個小立方體搭成的大立方體時,如圖3所示,鐵絲沿斜上方向可繼續穿透V號立方體,沿斜
下方向可以繼續穿透VI號、VII號小立方體。因此,最多可以穿透7個小立方體。
其實,我們可以得出一道公式
n*n*n大立方體
最多穿過小立方體的個數=1+3(n-1)
【第四題】
如果1998*n的積是一個五位數
那麼積的百位數必為9,而最兩位數及尾兩位數數字和=99
例如73926=1998*37
73+26=99,百位數是9
利用一般表示方式:
(99-n)*1000+900+n,n是一兩位數
(99-n)*1000+900+n
=99000-1000n+900+n
=99900-999n
=999(100-n)
而且1998=999*2
因此所有1998的五位數倍數的百位數必為9
1998的1-5倍:
1998,3996,5994,7992,9990,都有9
最大的五位倍數=99900=1998*50
因此1998的1-50倍的數字必有9
1998*51=101898
1998*52=103896
1998*53=105894
1998*54=107892
1998*55=109890
1998*56=111888,終於沒有9字
所以最小的正整數=56,1998*56=111888
【第五題】
設右中為a,右下為b
8*6*a=3*4*右上 → 右上=4a
8*6*a=3*8*左下 → 左下=2a
8*6*a=4*6*正下 → 正下=2a
左下*正下*右下=右上*右中*右下=4a2b
所以8*6*a=4a2b
ab=12 → b=12/a
因為b是正整數,所以12/a是正整數,即是a是12的因數
a=1,2,3,4,6或12
a=1:
a=2:
a=3:
a=4:
a=6:
a=12: