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由 paulman 於 星期四 七月 10, 2003 2:02 pm
我發現GHI之重心與ABC之重心重合 又是為何
由 scsnake 於 星期三 六月 04, 2003 5:44 pm
我純粹用平面幾何不是嗎？
由 Raceleader 於 星期五 五月 16, 2003 9:40 pm
You can search im web
由 scsnake 於 星期五 五月 16, 2003 4:55 pm
原題等價於此題：
ABC為任意三角形，由三邊向外作30-30-120三角形，120度的角不在原三角形邊上，現證DEF為正三角形
將ECD繞D轉-120度得GBD，EAF繞F轉+120度得G'BF，易知G'=G
→DE=DG,EF=FG，又FB公共邊
→DFE全等於DFG
→EDF=FDG，但EDG=120度(剛才的旋轉角度)，故EDF=FDG=60度
→同理EFD=GFD=60度
→DEF為正三角形
其實這題有更廣義的結果(書上寫的)，改天再打上來∼
ABC為任意三角形，由三邊向外作30-30-120三角形，120度的角不在原三角形邊上，現證DEF為正三角形
將ECD繞D轉-120度得GBD，EAF繞F轉+120度得G'BF，易知G'=G
→DE=DG,EF=FG，又FB公共邊
→DFE全等於DFG
→EDF=FDG，但EDG=120度(剛才的旋轉角度)，故EDF=FDG=60度
→同理EFD=GFD=60度
→DEF為正三角形
其實這題有更廣義的結果(書上寫的)，改天再打上來∼
由 ---- 於 星期五 五月 16, 2003 4:21 pm
http://www.cut-the-knot.com/proofs/napoleon.shtml
by cosine law only
by cosine law only
由 Raceleader 於 星期五 五月 16, 2003 1:34 pm
You can rotate the figure and get the plane geo method
But not to refuse using Plane Geo, please cooperate the norm
But not to refuse using Plane Geo, please cooperate the norm
由 --- 於 星期五 五月 16, 2003 1:32 pm
總是轉60度 or 120度
由 Raceleader 於 星期五 五月 16, 2003 1:30 pm
如果不用其他方法呢?
由 --- 於 星期五 五月 16, 2003 1:29 pm
(a)任給一個三角形 ABC, 由此三角形的三邊 AB,BC,CA 分別作頂角為 120 度的等腰三角形 ABD, BCE, CAF, 試證明三角形 DEF 為正三角形.
設A為原點, ABC在複數平面上
令A=0, B=b, C=a. (a,b為複數)
令w=cos(pi/6)+isin(pi/6); w^3=i; w^6=-1
let m=sqrt(3); w=m/2+i/2; ww=1/2+im/2; 1/w=m/2-i/2
D=b/m/w
E=b+(a-b)/m/w
F=a*w/m
let x=a/b
[(E-D)/(F-D)]*ww
=(ww+(x-2)w/m)/(xw/m-1/m/w)
=(ww-2w/m+xw/m)/(xw/m-1/m/w)
=(1/2+im/2- 1-i/m +xw/m)/(xw/m-1/2+i/2/m)
=1
故DEF 為正三角形
這是由此三角形的三邊 AB,BC,CA 分別向外作頂角為 120 度的等腰三角形 ABD, BCE, CAF; DEF 為正三角形
設A為原點, ABC在複數平面上
令A=0, B=b, C=a. (a,b為複數)
令w=cos(pi/6)+isin(pi/6); w^3=i; w^6=-1
let m=sqrt(3); w=m/2+i/2; ww=1/2+im/2; 1/w=m/2-i/2
D=b/m/w
E=b+(a-b)/m/w
F=a*w/m
let x=a/b
[(E-D)/(F-D)]*ww
=(ww+(x-2)w/m)/(xw/m-1/m/w)
=(ww-2w/m+xw/m)/(xw/m-1/m/w)
=(1/2+im/2- 1-i/m +xw/m)/(xw/m-1/2+i/2/m)
=1
故DEF 為正三角形
這是由此三角形的三邊 AB,BC,CA 分別向外作頂角為 120 度的等腰三角形 ABD, BCE, CAF; DEF 為正三角形
[討論]拿破崙三角形
由 Raceleader 於 星期五 二月 14, 2003 11:11 pm
△ABC是一任意三角形，D、E和F在△ABC外，使△ABD、△BCE和△CAF是等邊三角形。G、H和I分別是△ABD、△BCE和△CAF的中心，而△GHI則被稱為拿破崙三角形。
證明拿破崙三角形GHI是等邊三角形。
證明拿破崙三角形GHI是等邊三角形。