暱稱:Raceleader
【問題1】
1+2+3+...+n=(n/2)(n+1)
(1+2+3+…+n)/n=(n+1)/2
如果n是奇數,那麼(n+1)/2是整數,從而(1+2+3+…+n)/n是整數
如果n是偶數,那麼(n+1)/2是0.5的奇倍數,從而(1+2+3+…+n)/n是0.5的奇倍數
因此,(1+2+3+…+n)/n必為0.5的倍數,從而不會是循環小數。
【問題2】
為方便計算,設BC為水平線,A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(0,d),H(0,0),a,b,c,d各不相等。
註:這設定只為方便計算,不會失去一般性
因為△ABC是銳角三角形,那麼任兩邊的平方和都大於第三邊的平方
而且∠AHE及∠AHF必為銳角
利用兩點式,可得:
AB:ax+by=ab ---(1)
BC:y=0 ---(2)
CA:ax+cy=ac ---(3)
ADH:x=0 ---(4)
BDE:dx+by=bd ---(5)
CDF:dx+cy=cd ---(6)
解(3)及(5):
E{[(abc-bcd)/(ab-cd)],[(abd-acd)/(ab-cd)]}
解(1)及(6):
F{[(abc-bcd)/(ac-bd)],[-(abd-acd)/(ac-bd)]}
EH的斜率=(abd-acd)/(abc-bcd)
FH的斜率=-(abd-acd)/(abc-bcd)
tan(∠EHC)=|EH的斜率|=(abd-acd)/(abc-bcd)
tan(∠FHB)=|FH的斜率|=(abd-acd)/(abc-bcd)
∴∠EHC=∠FHB
因為ADH是垂直線(x=0)
∴∠AHC=90°
∴∠AHE=∠AHF
【第一題】
N在DJ上,使NH垂直FI。M在NH上,使ME垂直CF。連NH及ME。
ACFI是一正方形 (已知)
∴AC=CF=FI=IA=10cm (正方形性質)
∴∠ACF=∠CFI=∠FIA=∠IAC=90° (正方形性質)
∠JNH=∠NKG=∠KDF=∠NME=∠MEF=90° (已知)
∴AC//JD//ME//IF (同位角相等)
∴AI//NH//BG//CF (同位角相等)
∴ABKJ,BCEL,MEFH,NKLM及JNHI是長方形 (根據定義)
∴NM=KL=DE=2cm (長方形性質)
∴NK=ML=HG=3cm (長方形性質)
因為JB,BE,EH及HJ分別是ABKJ,BCEL,MEFH及JNHI的對角線
因此△JBK,△BLE,△EMH,△HIJ的面積分別是ABKJ,BCEL,MEFH及JNHI的面積的一半
(ABKJ+BCEL+MEFH+JNHI)的面積=ACFI的面積-KLMN的面積
(ABKJ+BCEL+MEFH+JNHI)的面積=(10)(10)-(3)(2)=94cm
2
∴(△JBK+△BLE+△EMH+△HIJ)的面積
=(ABKJ+BCEL+MEFH+JNHI)的面積/2
=94/2
=47cm
2
四邊形JBEH的面積
=(△JBK+△BLE+△EMH+△HIJ+KLMN)的面積
=47+6
=53cm
2
【第二題】
正實數數列:a
1,a
2,a
3,...
當n≧2,a
n=a
n-1a
n+1-1
設x=2001/a,a是非0正實數,那麼數列:
(2001/a), 2000, a, (a+1)/(2000), (2001+a)/(2000a), (2001/a), 2000, ...
發現數列每5項便一循環
因此我們只需考慮首5項便可
1. 2001/a=2001,a=1
2. 2000≠2001
3. a=2001,a=2001
4. (a+1)/(2000)=2001,a=4001999
5. (2001+a)/(2000a)=2001,a=2001/4001999
因此共有4個不同的x值使某項數=2001
x=2001/4001999,1,2001或4001999