由 Raceleader 於 星期三 四月 30, 2003 10:00 pm
【問題1】6組
【問題2】2p2=9q
【問題3】a=-5/4,b=-1/2
【問題4】8
【問題5】(x3-x+1)(x2+x+1)
【問題6】x=1
【問題7】1305
【問題8】15
【第一題】
F(1)=249,F(n+1)=21+4F(n),n=1,2,3,...
如果末兩位數固定,未它數可任意,那麼末兩位數的4倍也是固定
設G(n)=F(n)之值的末兩位數
G(1)=49
G(2)=17
G(3)=89
G(4)=77
G(5)=29
G(6)=37
G(7)=69
G(8)=97
G(9)=09
G(10)=57
G(11)=49
...
所以:
G(10k+1)=49
G(10k+2)=17
G(10k+3)=89
G(10k+4)=77
G(10k+5)=29
G(10k+6)=37
G(10k+7)=69
G(10k+8)=97
G(10k+9)=09
G(10k+10)=57
k=0,1,2,...
G(2003)=G(10*200+3)=G(30)=89
F(2003)之值的末兩位數=89
【第二題】
假設am=bn,(m,n)沒有整數解
如果矩形分成長a等份,寬b等份
設F(h,k)為長h等份,寬k等份的小矩形的數目
那麼F(h,k)=(a-h+1)(b-k+1)
F(1,1)=ab
F(1,2)=a(b-1)
F(1,3)=a(b-2)
...
F(1,b)=a(b-b+1)=a
S(1)=F(1,1)+F(1,2)+F(1,3)+...+F(1,b)=a[1+2+3+...+b]=(1/2)ab(b+1)
F(2,1)=(a-1)b
F(2,2)=(a-1)(b-1)
F(2,3)=(a-1)(b-2)
...
F(2,b)=(a-1)(b-b+1)=a-1
S(2)=F(2,1)+F(2,2)+F(2,3)+...+F(2,b)=(a-1)[1+2+3+...+b]=(1/2)(a-1)b(b+1)
F(3,1)=(a-2)b
F(3,2)=(a-2)(b-1)
F(3,3)=(a-2)(b-2)
...
F(3,b)=(a-2)(b-b+1)=a-2
S(3)=F(3,1)+F(3,2)+F(3,3)+...+F(3,b)=(a-2)[1+2+3+...+b]=(1/2)(a-2)b(b+1)
...
F(a,1)=b
F(a,2)=(b-1)
F(a,3)=(b-2)
...
F(a,b)=(a-a+1)(b-b+1)=1
S(a)=F(a,1)+F(a,2)+F(a,3)+...+F(a,b)=[1+2+3+...+b]=(1/2)b(b+1)
總數=S(1)+S(2)+S(3)+...+S(a)=(1/2)b(b+1)[1+2+3+...+a]=(1/4)ab(a+1)(b+1)