lskuo 寫到:
感覺是在找整數解,而且不懂因式定理如何確認題目中“洽” 的條件?不知能不能再說明一下?謝謝啦!
因為領導係數為 1,所以有理根只可能為整數。
我把過程寫清楚一點:
---------------------------------------------------------------------------------------------
有理根檢查法 (全名:整係數多項式方程式的有理根檢查法)
f(x) = a
nx
n + a
n-1x
n-1 + ... + a
1x + a
0 是 n 次整係數多項式,
若 b/a 為 f(x) = 0 的有理根 (其中 a 與 b 是互質的整數),
則 a | a
n 且 b | a
0。 (a
n 為領導係數或首項係數,a
0 為常數項)
---------------------------------------------------------------------------------------------
解:
令 f(x) = x^5 - 4x^3 + (k+2)x^2 + (k+3)x + 4,則
f(x) 的常數項 4 的正因數有 1, 2, 4;
領導係數 1 的正因數只有 1。
由有理根檢查法知
f(x) = 0 可能的有理根為:
±1/1, ±2/1, ±4/1,即 ±1, ±2, ±4。
以下利用因式定理來檢驗這些可能的有理根:
f(1) = 1 - 4 + (k+2) + (k+3) + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)
f(-1) = -1 + 4 + (k+2) - (k+3) + 4 = 6
f(2) = 32 - 4*8 + (k+2)*4 + (k+3)*2 + 4 = 6k + 18 = 6(k + 3)
f(-2) = -32 + 4*8 + (k+2)*4 - (k+3)*2 + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)
f(4) = 1024 - 4*64 + (k+2)*16 + (k+3)*4 + 4 = 20k + 816 = 4(5k + 204)
f(-4) = -1024 + 4*64 + (k+2)*16 - (k+3)*4 + 4 = 12k - 744 = 12(k - 62)
比較以上六個計算結果,得知:
(1) k = 62 時,f(-4) = 0,其餘五個可能有理根的函數值皆不為 0,
也就是說,k = 62 時,恰有一個有理根 -4。
(2) k = -204/5 時,f(4) = 0,其餘五個可能有理根的函數值皆不為 0,
也就是說,k = -204/5 時,恰有一個有理根 4,但 -204/5 不是整數。
(3) k = -3 時,f(1), f(2), f(-2) 為 0,其餘三個可能有理根的函數值皆不為 0,
所以,k = -3 時,有三個有理根 1, ±2。
以上只有 (1) 的結果合於題意,因此 k = 62。 ■