由 benice 於 星期三 十一月 02, 2016 9:03 am
另解 (想法比較簡單,但數字計算比較繁雜):
4(a² + ab + b²) = 49(a + b)
4b² + (4a - 49)b + (4a - 49)a = 0
將上式視為 b 的二次方程式,
則公式解的判別式
= (4a - 49)² - 4*4*(4a - 49)a
= (4a - 49)(4a - 49 - 16a)
= (4a - 49)(-12a - 49)
= (49 - 4a)(12a + 49)
因為 b 為正整數,當然也是實數,
所以判別式 (49 - 4a)(12a + 49) ≧ 0,
49 - 4a ≧ 0, (註:因為 12a + 49 > 0,所以不等式可同除 12a + 49)
4a - 49 ≦ 0,
a ≦ 49/4 = 12 + 1/4,
因此 a ≦ 12。
由公式解求得
b = { 49 - 4a + √[(49 - 4a)(12a + 49)] } / 8
(註:因為 (49 - 4a)² < (49 - 4a)(12a + 49),所以公式解的另一解小於零,不合)
因為 a > b,
所以 8a > 8b,
所以 8a > 49 - 4a + √[(49 - 4a)(12a + 49)],
12a - 49 > √[(49 - 4a)(12a + 49)],
(12a - 49)² > (49 - 4a)(12a + 49),
12²a² - 2*12*49a + 49² > -4*12a² + (49*12 - 4*49)a + 49²,
12(12 + 4)a² > 32*49a,
3(16)a > 8*49, (註:因為 a > 0,所以不等式可同除 a)
6a > 49,
a > 49/6 = 8 + 1/6,
因此 a ≧ 9。
a | 判別式是否為完全平方數?
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9 | (49 - 36)(108 + 49) = 13*157 (157 為質數), 否
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10 | (49 - 40)(120 + 49) = 9*169 = 3²*13² = 39², 是
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11 | (49 - 44)(132 + 49) = 5*181 (181 為質數), 否
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12 | (49 - 48)(144 + 49) = 193 (193 為質數), 否
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所以只有在 a = 10 時,b 才可能為整數。
a = 10 時,b = (49 - 4*10 + √39²) / 8 = 48 / 8 = 6 也是整數。
故數對 (a, b) 只有唯一解 (10, 6)。 ■