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由 **eaglle** 於星期日十一月 09, 2014 10:59 am

因為有了樓上Is大的圖 (真漂亮的圖啊), 我就來把解法寫一下 (完全不用三角公式, 只用畢氏定理):

1. 由於外框的邊長為2, 我們知道大小圖的半徑分別為2和1, 而且, 兩圓心距離為 $\sqrt{2}$

2. 看CAD 和OAD 兩個直角三角形, 先來求AD, 令AD=x (為了式了比較好寫)

$\sqrt[]{4-x^{2}}-\sqrt[]{1-x^{2}}=\sqrt[]{2}$

$\sqrt[]{4-x^{2}}+\sqrt[]{1-x^{2}}=\frac{3}{\sqrt[]{2}}$

$2\sqrt[]{1-x^{2}}=\frac{3}{\sqrt[]{2}}-\sqrt[]{2}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ ;     $\sqrt[]{1-x^{2}}=\frac{\sqrt[]{2}}{4}}$ ;   $x=\sqrt[]{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt[]{14}}{4}$

這樣我們便知道: $OD=\frac{\sqrt[]{2}}{4}$ ;     $AD=\frac{\sqrt[]{14}}{4}$

3. 所以, $sin\theta=\frac{\sqrt[]{14}}{8}$ ;     $sin\alpha=\frac{\sqrt[]{14}}{4}$

4. 因為扇形面積 = 1/2 (半徑平方) (張角的弳度量) , 所以扇形CAB面積 = $2\cdot\frac{1}{2}\cdot2^{2}\cdot\theta=4\theta$

5. (扇形OAB + 四邊形CBOA )面積 = $2\cdot\frac{1}{2}\cdot1^{2}\cdot\alpha+\sqrt[]{2}\cdot\frac{\sqrt[]{14}}{4}=\alpha+\frac{\sqrt[]{7}}{2}$

6. 所求 = (扇形OAB+四邊形CBOA) -扇形CAB  = $\alpha-4\theta + \frac{\sqrt[]{7}}{2}$

7. 最後, 如果想要用長度表現角度, 就只要把 $\alpha=arcsin\frac{\sqrt[]{14}}{4}$ ;
                                                             $\theta=arcsin\frac{\sqrt[]{14}}{8}$
代入上式即可

由 **lskuo** 於星期五十一月 07, 2014 5:15 pm

eaglle 寫到:我稍微算了一下, 所求的面積應該是:

$\arcsin \frac{\sqrt{14}}{4}-4\arcsin \frac{\sqrt{14}}{8}+\frac{\sqrt{7}}{2}$

不知道對不對?

不過看這答案的樣子, 小學大該是沒辦法解的;

當然, 如果不要在意反三角函數, 直接把它寫成一個角, 再說明該角的「斜邊/對邊= $\frac{\sqrt{14}}{4}$ 」,
也是可以的, 但至少要有畢氏定理的知識。

如果有興趣的話, 我可以把計算過程po出來 (畫圖比較麻煩)

答案正確。(小圓半徑 = 1)

由 **eaglle** 於星期五十一月 07, 2014 12:29 pm

我稍微算了一下, 所求的面積應該是:

$\arcsin \frac{\sqrt{14}}{4}-4\arcsin \frac{\sqrt{14}}{8}+\frac{\sqrt{7}}{2}$

不知道對不對?

不過看這答案的樣子, 小學大該是沒辦法解的;

當然, 如果不要在意反三角函數, 直接把它寫成一個角, 再說明該角的「斜邊/對邊= $\frac{\sqrt{14}}{4}$ 」,
也是可以的, 但至少要有畢氏定理的知識。

如果有興趣的話, 我可以把計算過程po出來 (畫圖比較麻煩)

由 **eaglle** 於星期四十一月 06, 2014 2:06 pm

這好像不是小學階段可以解的問題, 請問您的問題有什麼背景, 或是從哪裡來的?

由 **chen** 於星期三十一月 05, 2014 3:20 pm

求斜線面積

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[quote="chen"][IMG]http://www.yll.url.tw/richedit/upload/2k54c35d73d8.jpg" alt="image file name: 2k54c35d73d8.jpg[/IMG]求斜線面積[/quote]