Tzwan 寫到:公式: 12+22+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6
因為 12+22+...+492 = 40425 為奇數, 所以最大非正代數和不可能為0, 即頂多-1.
將此49個數分成兩堆, 一堆前面放置"+", 反之放"-".
盡可能地平均分佈這兩堆的數值, 即只要湊出"+"那堆最接近20212即可.
湊的方法為先挑選前k個最小的數, 使得最接近20212.
猜幾次就可以猜到k=39時最接近, 為20540. (代公式找)
很棒的解法,這裡講一下怎樣比較有效率的猜k=39.
令 f(k) = 1 到 k的平方和 = k(k+1)(2k+1)/6 , 則k 的條件,可以寫成如下的不等式:
f(k-1) < n(n+1)(2n+1)/12 ≦ f(k)
中間式子除以12 是分成兩半的結果
可以輕易證明 2k > n
所以當 n 很大時, 上面的不等式"大約" 與如下的不等式等價 (僅保留最高的三次項):
f(k) ~ k^3/3
(k-1)^3/3 < n^3/6 < k^3/3
k-1 < n/2^(1/3) < k
本題中 n = 49, 所以
k-1 < 38.89 < k
根據此不等式, 正解的k 應該就在38,39 附近.