感謝提供答案, 我最後一步計算有疏失,
f(17/8) = 51/4 不是 51/2
所以最後,
AB長的最小值=2√(f(17/8))=2√(51/4) = √51
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由 Tzwan 於 星期五 六月 14, 2013 2:42 pm
由 訪客 於 星期五 六月 14, 2013 2:15 pm
第二題解答給（根號51）
難道解答寫錯了（解答無詳解）
難道解答寫錯了（解答無詳解）
由 Tzwan 於 星期四 六月 13, 2013 10:23 pm
(1)
令f(y)=x3+2y3
因x+2y=1, 所以x=1-2y
=> f(y)=(1-2y)3+2y3
=-6y3+12y2-6y+1
對f做一次微分
=> f'(y)=-18y2+24y-6
令f'(y)=0
=> y=1/3 or 1(會不合前題)
對f'做一次微分
=> f''(y)=-36y+24
f''(1/3)>0
=> 當y=1/3時, 有relative minimum
比較relative minimum跟bounds(根據前題所以是當y=0或y=0.5)
f(1/3)=1/9
f(0)=1
f(0.5)=1/4
則最小值是1/9
(2)
令通過(0,-2)和(2,6)的直線方程式 L:y=4x-2
令正交於L且通過(0,-2)和(2,6)中點(1,2)的直線方程式 L':4y=-x+9
令圓C是通過(0,-2)和(2,6)的圓方程式
C的圓心必定在L'上, 令(a,b)
(a,b)帶入L'
=> 4b=-a+9
=> a=-4b+9 -----(*)
點A, 點(a,0), 和圓心(a,b)形成直角三角形
斜邊長=半徑=√(a2+(b+2)2)
圓心到點(a,0)長度=b,
by Pythagorean theorem
a2+(b+2)2-b2=點A到點(a,0)長2=(AB長/2)2
by (*)
=>(-4b+9)2+(b+2)2-b2
=>16b2-68b+85
令f(b)=16b2-68b+85
對f做一次微分
=>f'(b)=32b-68
令f'(b)=0
=>b=17/8
明顯地, 當b=17/8時有absolute minumun
AB長的最小值=2√(f(17/8))=2√(51/2)
令f(y)=x3+2y3
因x+2y=1, 所以x=1-2y
=> f(y)=(1-2y)3+2y3
=-6y3+12y2-6y+1
對f做一次微分
=> f'(y)=-18y2+24y-6
令f'(y)=0
=> y=1/3 or 1(會不合前題)
對f'做一次微分
=> f''(y)=-36y+24
f''(1/3)>0
=> 當y=1/3時, 有relative minimum
比較relative minimum跟bounds(根據前題所以是當y=0或y=0.5)
f(1/3)=1/9
f(0)=1
f(0.5)=1/4
則最小值是1/9
(2)
令通過(0,-2)和(2,6)的直線方程式 L:y=4x-2
令正交於L且通過(0,-2)和(2,6)中點(1,2)的直線方程式 L':4y=-x+9
令圓C是通過(0,-2)和(2,6)的圓方程式
C的圓心必定在L'上, 令(a,b)
(a,b)帶入L'
=> 4b=-a+9
=> a=-4b+9 -----(*)
點A, 點(a,0), 和圓心(a,b)形成直角三角形
斜邊長=半徑=√(a2+(b+2)2)
圓心到點(a,0)長度=b,
by Pythagorean theorem
a2+(b+2)2-b2=點A到點(a,0)長2=(AB長/2)2
by (*)
=>(-4b+9)2+(b+2)2-b2
=>16b2-68b+85
令f(b)=16b2-68b+85
對f做一次微分
=>f'(b)=32b-68
令f'(b)=0
=>b=17/8
明顯地, 當b=17/8時有absolute minumun
AB長的最小值=2√(f(17/8))=2√(51/2)
[高中] 數甲 2題目
由 訪客 於 星期四 六月 13, 2013 2:12 am
(1)
設x>=0,y>=0且x+2y=1 則x^3+2y^3的最小值為何?
（2）
設通過（0，-2） （2，6）兩點的圓與x軸相交於AB兩點，則線段AB長的最小值為何？
設x>=0,y>=0且x+2y=1 則x^3+2y^3的最小值為何?
（2）
設通過（0，-2） （2，6）兩點的圓與x軸相交於AB兩點，則線段AB長的最小值為何？