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基底(basis)選 τ 就行了，因為 τ 本身就是可數(countable)了！

τ 的定義為｛Ø｝∪｛Χ-Ａ│Ａ為Χ的有限子集｝。

因為『可數集的所有有限子集所成的集合為可數』，
所以｛Ａ│Ａ為Χ的有限子集｝為可數，
所以｛Χ-Ａ│Ａ為Χ的有限子集｝為可數，
因此 τ 為可數。


註：
關於『可數集的所有有限子集所成的集合為可數』的證明請參考『集合論』
方面的書籍，或在以下網頁
http://www.science.uva.nl/~seop/entries/set-theory/primer.html
的頁面上搜尋以下字串
The set of all finite subsets of a countable set is countable.

A topological space  （Χ,τ）is said to satisfy the second axiom of countability or to be second countable if there exists a basis βfor τ , where β consists of only a countable number of sets.

Let （Χ,τ）be the set of all integers with the finite-closed topology. Does the space （Χ,τ）satisfy the second axiom of countability?


可以這樣令嗎?

X=Z        τ :finite-closed topology

τ = {O,Z,Z-{1},Z-{2},Z-{1,2},......}