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因為AB=AD
所以A必在BD中垂線上
設BD中垂線交BD於K
又M為AC中點
故M必在KB中垂線上
設KB中垂線交KB於X
BM=1=2BX且MX垂直BX
得角MBD=60度
BD=2BM且角MBD=60度
得DM=根號3

延長BM到E使得BM=ME
CBAE就是平行四邊形
AE就會垂直BD
AB=AD
延長AE就會通過BD的中點N
BM=BN=1
BD=BE=2
因此三角形BMD和三角形BNE全等
MD=EN=根號3

不需要用到餘弦那麼深啦...
用相似即可,若有一三角形一角為60度,夾此角之二邊為1:2
則此三角形為30 60 90的直角三角形.(SAS相似)

鼬大大你說的並沒有錯,後半部可以用餘弦定理解出DM
只不過應該是沒有先知道"直角"再推出"DM=根號3"的方法

若DM=根號3 則角BMD必為90度喔. (1:2:根號3)

還有,你說明FM=1/2時就等於說明角MBD=60度了.
接著便可一步推出DM=根號3.

我覺得90度應該是巧合
我提供一個平面幾何之做法:
延長CB並且作一過A平行BD之直線且交BC之延長線於E
作一過M而平行BD之直線且交BC之延長線於F
此時可以發現FM=1/2(三角形CEA和三角形CFM相似)
由畢氏定理:BM^2=FM^2+BF^2得到BF=(3^0.5)/2
設M在BD上之投影點為N
則BF=MN=(3^2)/2,ND=2-1/2=3/2,所以DM=3^(1/2)

這題我亦是用解析幾何方式,具體方法與等待著的深藍大大差不多.

不過我想問,是否有平面幾何的作法?
因為只要能證明角BMD=90度答案就呼之欲出了.
(不過我也還沒想到這樣的解法.)

#ed_op#DIV#ed_cl#設B(0,0),C(0,2),D(0,2),A(1,h)#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#依題意,BM#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#=(1/2)#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#+[(2+h)/2]#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#=1#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#,DM#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#=(3/2)#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#+[(2+h)/2]#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#Then   BM#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#-DM#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#=1/4-9/4⇒DM#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#=1#ed_op#SUP#ed_cl#2#ed_op#/SUP#ed_cl#+9/4-1/4=3⇒DM=√3#ed_op#/DIV#ed_cl#

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