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由題意可知 (p+1)/2 =x^2
(p^2+1)/2=y^2

又因為完全平方數/4的餘數只可能是0 or 1
所以可令p+1/2=4k  or p+1/2=4k+1

(a)p+1/2=4k,p=8k-1
代到第二式得32k^2-8k+1=y^2
8k(4k-1)=(y+1)(y-1)
所以可以利用分解,知道左式其中一項(較大者)=另一項+2
-->
(1)8k=4k-1+2,4k=1,k=1/4 -->p=1(不合)
(2)4k+2=8k-2-->k=1-->p=7
(3)2k+2=16k-4 -->不合
(4)k+2=32k-8-->不合

(b)p+1/2=4k+1
p=8k+1帶入第二式
-->32k^2+8k+1=y^2
-->8k(4k+1)=(y+1)(y-1)
同理
(1)4k+1+2=8k-->k=3/4-->p=7
(2)4k+2=8k+2-->k=0-->p=1(不合)
(3)2k+2=16k+4(不合)
(4)k+2=32k+8(不合)

所以p=7

試求出所有的質數p 使得下列方程組有整數解: