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發表 linch6123 於 星期六 五月 13, 2006 1:43 am

[quote="rainy"](3) 定義a^x 和logx (以a為底)互為反函數
可以得到
(lnx)'=1/x
=============================
請稍加說明


上面Errfree大大所寫的就是證明過程,我使用了他的結論

發表 rainy 於 星期五 五月 12, 2006 9:18 pm

(3) 定義a^x 和logx (以a為底)互為反函數
可以得到
(lnx)'=1/x
=============================
請稍加說明
謝謝!
討論熱烈   非常精采!!!

發表 linch6123 於 星期五 五月 12, 2006 5:59 pm

Errfree大大的解題總是清楚易懂,很喜歡你圖文並茂的解法#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#小弟把上面的作一下整理 ,有錯請指正#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#(1) 數列 a_n =(1+1/n)^n #ed_op#BR#ed_cl#為遞增有上界(要證明),所以a_n 收斂,極限值存在。#ed_op#BR#ed_cl#既然極限值存在,定義#ed_op#BR#ed_cl#e=lim(1+1/n)^n 或 e=1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+....#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#(2) 利用夾擠可以得到#ed_op#BR#ed_cl#lim(1+1/n)^n=lim(1+1/x)^x 在此x不一定要為整數#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#(3) 定義a^x 和logx (以a為底)互為反函數#ed_op#BR#ed_cl#可以得到#ed_op#BR#ed_cl#(lnx)'=1/x#ed_op#BR#ed_cl#利用#ed_op#BR#ed_cl#ln (e^x)=x#ed_op#BR#ed_cl#兩邊微分得#ed_op#BR#ed_cl#(1/e^x)(e^x)'=1#ed_op#BR#ed_cl#所以#ed_op#BR#ed_cl#(e^x)'=e^x#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#(4) 由原始定義e=lim(1+1/n)^n 則對於所有實數x#ed_op#BR#ed_cl#e^x=lim(1+1/n)^(nx) 或 e^x=(1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+....)^x#ed_op#BR#ed_cl#但我們在微積分學習過程中都使用了#ed_op#BR#ed_cl#e^x=lim(1+x/n)^n 或e^x=(1+x+x^2/2!+…+.x^n/n!+......)#ed_op#BR#ed_cl#現在要說明#ed_op#BR#ed_cl#e^x=lim(1+1/n)^(nx)=lim(1+x/n)^n 且#ed_op#BR#ed_cl#e^x=lim(1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+..)^x=(1+x+x^2/2!+….x^n/n!+....)#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#【1】 ln lim(1+1/n)^(nx) #ed_op#BR#ed_cl#=lim ln(1+1/n)^(nx) 因為lnx為連續函數所以lim可提到外面#ed_op#BR#ed_cl#=x lim ln (1+1/n)^n#ed_op#BR#ed_cl#=x ln lim(1+1/n)^n#ed_op#BR#ed_cl#=x lne#ed_op#BR#ed_cl#=x#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#【2】 ln lim(1+x/n)^n#ed_op#BR#ed_cl#=lim ln(1+x/n)^n#ed_op#BR#ed_cl#=lim n ln(1+x/n)#ed_op#BR#ed_cl#令t =1/n#ed_op#BR#ed_cl#=lim ln(1+tx)/t (羅必達)#ed_op#BR#ed_cl#=lim x/(1+tx)#ed_op#BR#ed_cl#=x#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#由【1】【2】和lnx為一對一函數得e^x=lim(1+1/n)^(nx)=lim(1+x/n)^n#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#【3】e^x =lim(1+1/n)^(nx)#ed_op#BR#ed_cl#= lim(1+x/n)^n#ed_op#BR#ed_cl#=1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+....#ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl#

發表 Errfree 於 星期三 五月 10, 2006 1:04 am

#ed_op#DIV#ed_cl#對 f(x) 微分的定義如下:#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2kddf4e8a63b.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2kddf4e8a63b.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#那麼對 log#ed_op#SUB#ed_cl#a#ed_op#/SUB#ed_cl#(x) 的微分, 就可以寫成如下: (以下用 h 符, 來代替 △x 這個增量符).#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2k991d35de8a.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2k991d35de8a.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#把 1/h 先提出來#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2kb99e7a3737.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2kb99e7a3737.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#兩個 Log 相減, 等於 Log 內兩值相除#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2k2711d874d3.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2k2711d874d3.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2kb2b0bd45be.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2kb2b0bd45be.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#把外面的 1/h 抓到 Log 內當次方.#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2kd31d2962eb.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2kd31d2962eb.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#再抓 x 到 Log 內當次方, 所以外面就要補一個 1/x .#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2k27a5b819a7.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2k27a5b819a7.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#那 Log 內就是 e 的定義了!#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#IMG alt="image file name: 2k94f981332d.png" src="http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/richedit/upload/2k94f981332d.png" border=0#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#當 a = e 時, Log#ed_op#SUB#ed_cl#e#ed_op#/SUB#ed_cl#(e) = Ln(e) = 1#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl#

發表 linch6123 於 星期日 五月 07, 2006 11:39 pm

元首寫到:
而為什麼e^x的積分還是e^x,
則可以解,
設我們不知道哪一個funtion的積分還是它自己,設它是y

∫ydx=y
兩邊取導數
y=dy/dx
移項得
dy/y=dx
兩邊積分,
In y=x
移項得
y=e^x
所以e^x的積分等於它自己




這裡似乎沒有把事情解決
因為證明過程用了

lnx的微分 = 1/x    跟   lnx和e^x  為反函數的性質

如果能證明
若lnx的微分 = 1/x    則  lnx和e^x  為反函數

或是

若lnx和e^x  為反函數   則 lnx的微分 = 1/x
會比較完整

發表 p 於 星期四 四月 27, 2006 11:36 pm

元首寫到:

第一題沒得解
因為這只是e的定義
---------

似乎不對,
e的定義有二,
1.lim(1+1/n)^n ,n→∞ ,n屬於N
2.lim(1+1/1!+1/2!+1/3!+----+1/n!)  ,n→∞, n屬於N

而lim(1+1/x)^x=e  ,x→∞ ,x屬於R, 是需要証明的.
証明方式, 可令n=[x]

Re: [數學]問e問題

發表 元首 於 星期五 四月 21, 2006 6:36 pm

chongxe 寫到:為什麼lim(1+1/x)^x  ,  x->infinite  = e#ed_op#BR#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl#為什麼 e^x的微分還是e^x
#ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#第一題沒得解#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#因為這只是e的定義#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#好像你要定義π#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#它不就是圓周與直徑之比嗎?#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#這只是定義!#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#而為什麼e#ed_op#SUP#ed_cl#x#ed_op#/SUP#ed_cl#的積分還是e#ed_op#SUP#ed_cl#x#ed_op#/SUP#ed_cl#,#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#則可以解,#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#設我們不知道哪一個funtion的積分還是它自己,設它是y#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#∫ydx=y#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#兩邊取導數#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#y=dy/dx#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#移項得#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#dy/y=dx#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#兩邊積分,#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#In y=x#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#移項得#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#y=e#ed_op#SUP#ed_cl#x#ed_op#/SUP#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#所以e#ed_op#SUP#ed_cl#x#ed_op#/SUP#ed_cl#的積分等於它自己#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl#

發表 Eclipse 於 星期五 五月 20, 2005 12:06 pm

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

[數學]問e問題

發表 chongxe 於 星期三 五月 11, 2005 2:37 pm

為什麼lim(1+1/x)^x  ,  x->infinite  = e

為什麼 e^x的微分還是e^x