YLL討論網

感謝高手的解惑..謝謝

#ed_op#DIV#ed_cl#(a) rank(A)= n-1 if and only if rank(adjA)=1#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#Pf (a)#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#1.先證明 A,B為n階方陣  iff  rank(AB) ≥ rank(A)+rank(B) - n    #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#Note:事實上若  A 是  s by n  ，B是  n by t也會成立。#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#2.由rank(A) = n-1 保證 det(A) = 0#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#故A(adjA) = det(A)  I  = 0#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#所以rank[A(adjA)] = 0      #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#利用上面定理可以知道    0 ≥  n-1 + rank(adjA) -n    <=>   rank(adjA) ≤1 ..... (1)#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#3.又由於rank(A) =n-1  可以知道至少在Algebric Complementary Minors中有一個entry不為0#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#<=> rank(adjA) ≥ 1.....(2)#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl#4. By (1),(2)   可以知道成立的條件僅在 rank(adjA) =1。 證畢！#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl#

抱歉...可以請問一下當A是上三角，怎麼證(a)跟(b)?因為這邊我就卡住了...希望可以解惑一下...謝謝

若A為上三角矩陣則
(a) rank(A)= n-1 if and only if rank(adjA)=1    

(b)  rank(A)< n-1 if and only if rank(adjA)=0  可以容易驗證

我們知道任意複數方陣都可以上三角化

所以A可以和一上三角矩陣U相似

則rank(A)= rank(U)

只是無法確定rank(adjA)= rank(adjU)

如果對的話就得證了

這題目對嗎?
好像怪怪的 可以找到反例
例

(2)
1000
0100
0000
0000

sorry 我會錯題意了  我以為伴隨矩陣 是A^H

#ed_op#DIV#ed_cl#設A是n階方陣，n&gt;1,用adj(A)表示A的伴隨矩陣，證明: (a) rank(A)= n-1 if and only if rank(adjA)=1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (b)&nbsp; rank(A)&lt; n-1 if and only if rank(adjA)=0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 希望各位大大幫忙解惑...謝謝#ed_op#/DIV#ed_cl#