YLL討論網

嗯嗯..你們第2題的答案都不錯.
但其實我主要是想看你們第1題的解答呢.
因為我覺得我解的好像怪怪的...

宇智波鼬 寫到:
2.已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8.
求證:

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)

因為a+b+c=0，abc=8，所以a,b,c皆不為0，所以a^2+b^2+c^2大於0，所以(ab+ac+bc)小於0，所以(ab+ac+bc)/abc小於0，展開得證

再來兩題比較容易的:

1.設正有理數
是的一個近似值.令
求證:
(1)介於與之間.
(2)比更接近於.
(3)寫出比更接近於的另一個有理近似值.
(4)分析研究上述結論,提出一種求的有理近似值的方法.

2.已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8.
求證:

宇智波鼬 寫到:追加一題:

設x,y,z為正實數,且x+y+z大於等於3,
證明:

第1題
設 x=a/(abc的三次方根)，y=b/(abc的三次方根)，z=c/(abc的三次方根)
則 x,y,z是正實數且xyz=1
而原不等式變成
(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≧2(1+x+y+z)
xyz(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≧1*2(1+x+y+z)
(y+x)(z+y)(x+z)≧2(1+x+y+z)
(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz≧2+2(x+y+z)
(x+y+z)(xy+yz+zx)-2(x+y+z)≧2+xyz=3
原不等式和(x+y+z)(xy+yz+zx-2)≧3是等價的，只要證明此不等式即可

由xyz=1和算幾不等式可得
x+y+z≧3*(xyz的三次方根) = 3
xy+yz+zx≧3*[(xy)(yz)(zx)的三次方根] = 3
所以(x+y+z)(xy+yz+zx-2)≧3*(3-2)=3  Q.E.D

追加一題:

設x,y,z為正實數,且x+y+z大於等於3,
證明:

設a,b,c為正實數,證明: