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hycheah2000 寫到:不能用羅比達來證明
因為在微分sinx時,就已經用了lim sinx/x=1 (x→0)
這個結果

是的
sinx微分=lim {sin(x+h)-sinx}/h     h→0
           =lim{sinxcosh+cosxsinh-sinx}/h     h→0
           =lim(cosxsinh)/h     h→0
利用lim sinh/h=1 (h→0)
推得
    sinx微分=lim cosx lim(sinh)/h      h→0
               = cosx


考慮單位圓上
利用面積的方法得
當 0<x<pi/2時
sinx<x<tanx
則
1< (x/ sinx)< (tanx/ sinx)=(1/cosx)
則
1<lim (x/ sinx)<lim (1/cosx)   x→0+
則
1 <= lim (x/ sinx) <= 1   x→0+
則
lim (x/ sinx)=1   x→0+
則
lim (sinx/ x)= lim{1/ (x/ sinx)}=1/{lim(x/ sinx)}=1   x→0+

lim (sinx/ x)=  x→0-
= lim (sin(-x)/( -x))=  x→0+
=lim (sinx/ x)=  x→0+
=1

感覺上是知道了答案反推回去的作法

這題如果做圖會不會比較快  因為x->0  在x->0的的區域  sinx的圖形  與 直線x=y
幾乎完全重疊  所以答案等於 1

不能用羅比達來證明
因為在微分sinx時,就已經用了lim sinx/x=1 (x→0)
這個結果

solution 1
using 挾擠定理
because sin(x) is a continuous function  so that

lim sin(x), x-> 0+ = lim sin(x), x->0-

(左極限=右極限=極限值)

so lim sin(x), x->0 = x
so lim (sin(x))/x , x->0 = lim x/x ,x->0 =1


solution 2
using L'Hospital's rule
lim [sin(x)/x] ,x->0 為0/0 ,分子分母各對x微分一次
==> lim [sin(x)/x]  = lim [cos(x)/1] = lim cos(x), for x->0 =1

lim sin(x)/x , x->0  = 1
proof?