x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=3[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]
3-3xyz=3[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]
=>1-xyz=9-3(xyyz+zx)
=>xyz-3(xy+yz+zx)+8=0
=>xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27=-8
=>(x-3)(y-3)(z-3)=-8
(x,y,z)=(-5,4,4),(4,-5,4),(4,4,-5),(1,1,1)
(有別解法在提供吧)
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由 GFIF 於 星期五 十一月 04, 2005 12:19 am
由 piny 於 星期四 十一月 03, 2005 9:41 pm
嗯！應該就是這四組解，以下為另一種方法，
將x=3-y-z代入x^3+y^3+z^3=3
經化解可得(y-3)(z-3)(y+z)=8......(1)
由於y,z為整數，所以y之可能值為-5,-1,1,2,4,5,7,11
分別代入(1)解z之方程式即可
可得(y,z)=(1,1),(4,4),(4,-5),(-5,4)
所以(x,y,z)=(1,1,1),(-5,4,4),(4,4,-5)(4,-5,4)
將x=3-y-z代入x^3+y^3+z^3=3
經化解可得(y-3)(z-3)(y+z)=8......(1)
由於y,z為整數，所以y之可能值為-5,-1,1,2,4,5,7,11
分別代入(1)解z之方程式即可
可得(y,z)=(1,1),(4,4),(4,-5),(-5,4)
所以(x,y,z)=(1,1,1),(-5,4,4),(4,4,-5)(4,-5,4)
由 yes 於 星期四 十一月 03, 2005 8:41 pm
謝謝piny指正我檢驗時粗心算錯A-3=-2且A^2+t=4亦合
，此時A=1,t=3 代入得A^3-3A^2+3A-1=0 則(A-1)^3=0
所以A=1,1,1 因此應再增加(x,y,z)=(1,1,1)
，此時A=1,t=3 代入得A^3-3A^2+3A-1=0 則(A-1)^3=0
所以A=1,1,1 因此應再增加(x,y,z)=(1,1,1)
由 piny 於 星期四 十一月 03, 2005 6:07 pm
(1,1,1)也是一解
由 yes 於 星期四 十一月 03, 2005 5:03 pm
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
令xy+yz+zx=t 則x^2+y^2+z^2=9-2t
又x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
則3-3xyz=3(9-2t-t) 則xyz=3t-8
所以x,y,z為A^3-3A^2+tA+8-3t=0之三根
則A^2(A-3)+t(A-3)=-8 則(A-3)(A^2+t)=-8
分別考慮A-3=1,-1,2,-2,4,-4,8,-8之情形
僅A-3=1且A^2+t=-8合，此時A=4,t=-24 代入得A^3-3A^2-24A+80=0
則(A-4)^2*(A+5)=0 所以A=4,4,-5 所以(x,y,z)=(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)
令xy+yz+zx=t 則x^2+y^2+z^2=9-2t
又x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
則3-3xyz=3(9-2t-t) 則xyz=3t-8
所以x,y,z為A^3-3A^2+tA+8-3t=0之三根
則A^2(A-3)+t(A-3)=-8 則(A-3)(A^2+t)=-8
分別考慮A-3=1,-1,2,-2,4,-4,8,-8之情形
僅A-3=1且A^2+t=-8合，此時A=4,t=-24 代入得A^3-3A^2-24A+80=0
則(A-4)^2*(A+5)=0 所以A=4,4,-5 所以(x,y,z)=(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)
[數學]求整數解
由 GFIF 於 星期四 十一月 03, 2005 12:28 am
求的整數解