第二題解為(0,0,0)，
題目等同於問Ｚ＾２＋１＝（Ｘ＾２－１）（Ｙ＾２－１）之整數解
由於任何數平方被四數必餘１或０
情況一：Ｚ＾２被四整除，則左式被四除餘１
右式可分三種小情況
ａ．兩者平方皆被四整除，則右式被四除餘１
ｂ．其一平方被四整除，則右式被四除餘０
ｃ．兩者平方被四除皆餘１，則右式被四除餘０
情況二：Ｚ＾２被四除餘１，則左式被四除餘２
右式可分三種小情況
ａ．兩者平方皆被四整除，則右式被四除餘１
ｂ．其一平方被四整除，則右式被四除餘０
ｃ．兩者平方被四除皆餘１，則右式被四除餘０
所以只有在三數平方皆為被四整除時方成立，再依galaxylee大大所提示方法，可知唯有皆為０時方為解。
一時忘記0也是整數了，已修正。
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由 piny 於 星期五 十月 21, 2005 2:34 pm
由 galaxylee 於 星期五 十月 21, 2005 1:39 pm
(1)
因為三數的平方和為偶數，因此三數必須同為偶數，或一偶數二奇數
但若為一偶數二奇數，等號左邊不為4的倍數，但等號右邊是4的倍數
所以此情形為不可能，即三數只能是偶數
令x=2(x1)，y=2(y1)，z=2(z1)代入方程式，得
(x1)^2+(y1)^2+(z1)^2=4(x1)(y1)(z1)
理由同上，x1，y1，z1必須是偶數，即x1=2(x2)，y1=2(y2)，z1=2(z2)
x=(2^2)(x2)，y=(2^2)(y2)，z=(2^2)(z2)
依此類推，對任意自然數k，x=(2^k)(xk)，y=(2^k)(yk)，x=(2^k)(yk)
且xk、yk、zk都是偶數，並滿足(xk)^2+(yk)^2+(zk)^2=2^(k+1)(xk)(yk)(zk)
這只有x=y=z=0時才可能
解只有(x,y,z)=(0,0,0)
因為三數的平方和為偶數，因此三數必須同為偶數，或一偶數二奇數
但若為一偶數二奇數，等號左邊不為4的倍數，但等號右邊是4的倍數
所以此情形為不可能，即三數只能是偶數
令x=2(x1)，y=2(y1)，z=2(z1)代入方程式，得
(x1)^2+(y1)^2+(z1)^2=4(x1)(y1)(z1)
理由同上，x1，y1，z1必須是偶數，即x1=2(x2)，y1=2(y2)，z1=2(z2)
x=(2^2)(x2)，y=(2^2)(y2)，z=(2^2)(z2)
依此類推，對任意自然數k，x=(2^k)(xk)，y=(2^k)(yk)，x=(2^k)(yk)
且xk、yk、zk都是偶數，並滿足(xk)^2+(yk)^2+(zk)^2=2^(k+1)(xk)(yk)(zk)
這只有x=y=z=0時才可能
解只有(x,y,z)=(0,0,0)
[代數]兩道三元多次方程
由 lcflcflcf 於 星期五 十月 21, 2005 12:11 am
1)
求的非負整數解
2)
求的整數解
求的非負整數解
2)
求的整數解