集合論幾乎都忘了說
要證明獨立,就是證明兩者交集機率為兩者相乘
B的事件定義有(A、A的餘集合、全体事件),其中全体事件發生機率為一,而因為題意已指名A事件彼此獨立,所以A事件皆與其餘集合獨立。
分三種情況討論:
1.B=A
所以p(Ai交集Bj)=P(Ai)-P(Ai交集Bj之餘)
=P(Ai)-P(Ai交集Aj之餘)
=P(Ai)-P(Ai)P(Aj之餘)
=P(Ai)﹝1-P(Aj之餘)﹞
=P(Ai)﹝1-P(Bj之餘)﹞
=P(Ai)P(Bj),得證
2.B=A之餘
所以p(Ai交集Bj)=P(Ai)-P(Ai交集Bj之餘)
=P(Ai)-P(Ai交集Aj)
=P(Ai)-P(Ai)P(Aj)
=P(Ai)﹝1-P(Aj)﹞
=P(Ai)﹝P(Aj之餘)﹞
=P(Ai)P(Bj),得證
3.B=全体事件
所以p(Ai交集Bj)=P(Ai)-P(Ai交集全体之餘)
=P(Ai)-P(Ai交集空集合)
=p(Ai)-0
=P(Ai)
=P(Ai)*1
=P(Ai)P(Bj),得證