#ed_op#/P#ed_cl##ed_op#P#ed_cl#您好 小弟的意思是三個數(a,b,c)中，#ed_op#/P#ed_cl##ed_op#P#ed_cl#(a,b,c)當中只有一個是3的倍數，(a,b,c)當中只有一個是4的倍數，(a,b,c)當中只有一個是5的倍數。#ed_op#/P#ed_cl##ed_op#P#ed_cl#如(5,12,13)，則12是3的倍數，另二數不是；12是4的倍數，另二數不是；5是5的倍數，另二數不是#ed_op#/P#ed_cl##ed_op#P#ed_cl# #ed_op#/P#ed_cl##ed_op#P#ed_cl#之前有整理出證明，只是忘了是否有在此論壇上發表過，在此補上#ed_op#/P#ed_cl##ed_op#P#ed_cl#-----------------------------------------------------------------------------#ed_op#/P#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl#此種證明，先證明存在，再證其唯一。#ed_op#BR#ed_cl#以下稱左式為ａ^２＋ｂ^２，右式為ｃ^２。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT color=#ff0000 size=3#ed_cl#Ａ．證其存在。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT color=#3366ff size=3#ed_cl#１．有三的倍數？#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl# 若（ａ，ｂ，ｃ）皆非三的倍數，則其被三除之之餘數只有兩種可能：餘一或餘二。又非三倍數之平方被三除之必餘一，故左式被三除餘二，而右式被三除餘一，矛盾。故假設不成立，故必有三的倍數。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT color=#3366ff size=3#ed_cl#２．有四的倍數？#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl# 先介紹一個定理，任可畢氏組皆可表為（ｍ^２－ｎ^２，２ｍｎ，ｍ^２＋ｎ^２）。先證此定理成立。很顯然地，（ａ，ｂ，ｃ）必兩兩互質，因為若其任兩數有大於一之公因數，則等式恒等下，第三數必有可被其因數除之，則此組即不為畢氏組。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl# 再來考慮（ａ，ｂ，ｃ）之奇偶性。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl# 情況一：ａ，ｂ同為奇數，則ｃ為偶數。因為奇數平方被四除必餘一，而偶數平方必可被四整除，故此時左式被四除餘二，而右式可被四整除，矛盾，故情況一不成立。#ed_op#BR#ed_cl# #ed_op#BR#ed_cl# 情況二：ａ，ｂ同為偶數。則ａ，ｂ必不互質，因其至少有二可為公因數，矛盾，故情況二不成立。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl# 因此情況三不必討論下必為唯一合理情況，在不失一般性假設下，可令ｂ為偶數，則我們可知ｃ－ａ，ｃ＋ａ之最大公因數為二，證明此略（可從ａｃ皆為奇數討論即可），又ｂ^２＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ），故可令ｃ＋ａ＝２ｍ^２，ｃ－ａ＝２ｎ^２，此時解之即為上述通解。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl# 故由此定理可知２ｍｎ必為畢氏組之某項，又ｍ，ｎ互質且一奇一偶，故２ｍｎ必可被四整除。#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#P#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl# #ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/P#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#FONT color=#3366ff#ed_cl#３．有五的倍數？#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl# 若（ａ，ｂ，ｃ）皆非五的倍數，則其被五除之之餘數只有四種可能：餘一或餘二或餘三或餘四。則其平方被五除之之餘數只有兩種可能，餘一或餘四。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl# 故其餘數可能組合有六種：#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#P#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl# （餘一，餘一，餘四）、（餘一，餘一，餘一）、#ed_op#BR#ed_cl# （餘一，餘四，餘四）、（餘一，餘四，餘一）、#ed_op#BR#ed_cl# （餘四，餘四，餘四）、（餘四，餘四，餘一）。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl# #ed_op#/P#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl# 又等式兩邊同除某數，其餘數必相同，故可知此六種組合皆不存在，矛盾。故假設不成立，故必有五的倍數。#ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#P#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl# #ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/P#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT color=#ff0000 size=3#ed_cl#Ｂ．證其唯一。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT color=#ff0000 size=3#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl# 由Ａ之１，２，３，可證其存在倍數，若非唯一，則此必不為畢氏組，理由已前述，故為唯一。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=3#ed_cl#由Ａ，Ｂ，故命題成立。#ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#P#ed_cl# #ed_op#/P#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl#原來如此 寫到:#ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl#三邊皆為正整數且#ed_op#SPAN style="COLOR: red"#ed_cl#互質#ed_op#/SPAN#ed_cl#，則是不是剛好有一個是三的倍數、有一個是四的倍數、有一個是五的倍數？ #ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#STRONG#ed_cl#不是吧，只要是大於1的質數，就只能被1或自身整除。#ed_op#/STRONG#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#STRONG#ed_cl#所以只要有一條邊是質數就不可能是3或4或5的倍數。#ed_op#/STRONG#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#STRONG#ed_cl#例如(5,12,13)#ed_op#/STRONG#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#P#ed_cl#
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由 piny 於 星期二 三月 27, 2007 1:26 pm
由 原來如此 於 星期二 三月 27, 2007 11:14 am
#ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl#三邊皆為正整數且#ed_op#SPAN style="COLOR: red"#ed_cl#互質#ed_op#/SPAN#ed_cl#，則是不是剛好有一個是三的倍數、有一個是四的倍數、有一個是五的倍數？ #ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl# #ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#STRONG#ed_cl#不是吧，只要是大於1的質數，就只能被1或自身整除。#ed_op#/STRONG#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#STRONG#ed_cl#所以只要有一條邊是質數就不可能是3或4或5的倍數。#ed_op#/STRONG#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#FONT size=2#ed_cl##ed_op#STRONG#ed_cl#例如(5,12,13)#ed_op#/STRONG#ed_cl##ed_op#/FONT#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#BR#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl##ed_op#DIV#ed_cl##ed_op#/DIV#ed_cl#
由 piny 於 星期四 十月 20, 2005 10:42 am
咦 不錯的公式耶，竟然有可以寫出通解的方程
但是要如何證明有三和五的倍數，到目前為止我還沒找到反例解
但是要如何證明有三和五的倍數，到目前為止我還沒找到反例解
由 galaxylee 於 星期四 十月 20, 2005 5:51 am
定義：若a,b,c是正整數且a^2+b^2=c^2，則稱(a,b,c)為畢氏三數組，若a,b,c互質，則(a,b,c)為基本解。
定理：設x>y，x,y互質，且為一奇數一偶數，則(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)為一組基本解。每一個基本解也都可表成上式。
公式中的2xy一定是4的倍數，只要再證明有3和5的倍數即可，或舉出反例。
定理：設x>y，x,y互質，且為一奇數一偶數，則(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)為一組基本解。每一個基本解也都可表成上式。
公式中的2xy一定是4的倍數，只要再證明有3和5的倍數即可，或舉出反例。
[數學]直角三角形問題02
由 piny 於 星期四 十月 20, 2005 1:04 am
也是直角三角形問題
三邊皆為正整數且互質，則是不是剛好有一個是三的倍數、有一個是四的倍數、有一個是五的倍數？
舉幾個例子。
(207,224,305)
其中207可被三整除，另兩數不行
224可被四整除，另兩數不行
305可被五整除，另兩數不行
(160,231,281)
其中231可被三整除，另兩數不行
160可被四、五整除，另兩數不行
(119,120,169)
其中120可被三、四、五整除，另兩數不行
三邊皆為正整數且互質，則是不是剛好有一個是三的倍數、有一個是四的倍數、有一個是五的倍數？
舉幾個例子。
(207,224,305)
其中207可被三整除，另兩數不行
224可被四整除，另兩數不行
305可被五整除，另兩數不行
(160,231,281)
其中231可被三整除，另兩數不行
160可被四、五整除，另兩數不行
(119,120,169)
其中120可被三、四、五整除，另兩數不行