宇智波鼬 寫到:追加一題:
設a、b、c、d 都是正整數,且滿足ad-bc>1 ,試證a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡。
假設a,b,c,d都可被ad-bc整除,即存在正整數w,x,y ,z
使得a=w(ad-bc),b=x(ad-bc),c=y(ad-bc),d=z(ad-bc)
ad-bc=(wz-xy)(ad-bd)^2
(wz-xy)(ad-bc)=1
ad-bc=±1 和ad - bc > 1 矛盾,假設錯誤
因此a、b、c、d中至少有一數不能被ad-bc整除
宇智波鼬 寫到:追加一題:
設a、b、c、d 都是正整數,且滿足ad-bc>1 ,試證a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡。
宇智波鼬 寫到:追加一題:
設a、b、c、d 都是正整數,且滿足ad-bc>1 ,試證a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡。
宇智波鼬 寫到:兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積?
並且證明你的結論.
galaxylee 寫到:再提供一個我的另一種方法
原命題可看成「 a(a+1)=2b(2b+2) 是否有a,b的正整數解」
原式:a^2+a=4b^2+4b
a^2<a^2+a+1=4b^2+4b+1=(2b+1)^2<a^2+2a+1=(a+1)^2
a^2和(a+1)^2之間不可能有任何正整數的平方,a,b無正整數解
所以兩個連續正整數的乘積無法表示為兩個連續正偶數的乘積
lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>nm^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積
我總覺得我這樣解有點兒怪
qeypour 寫到:宇智波鼬 寫到:lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積
我總覺得我這樣解有點兒怪
我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)
可否公佈一個式子的漂亮解法呢?
我想學習
宇智波鼬 寫到:lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積
我總覺得我這樣解有點兒怪
我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)
galaxylee 寫到:題目:設a、b、c、d 都是正整數,且滿足ad-bc>1 ,試證a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡。
證明:
假設a、b、c、d四個數都可被ad-bc除盡
(ad-bc)/a = d-(bc/a) 是整數,bc/a是整數,a是bc的因數...(1)
(ad-bc)/b = (ad/b)-c 是整數,b是ad的因數......(2)
(ad-bc)/c = (ad/c)-b 是整數,c是ad的因數.......(3)
(ad-bc)/d = a-(bc/d) 是整數,d是bc的因數.......(4)
由(1),(4),ad是bc的因數,由(2),(3),bc是ad的因數
所以ad=bc,ad-bc=0和已知條件ad-bc>1矛盾
因此a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡
宇智波鼬 寫到:lcflcflcf 寫到:宇智波鼬 寫到:lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積
我總覺得我這樣解有點兒怪
我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)
覺得怪只是我覺得
但我不知為何我會覺得怪...
好奇問問
"那個人"是誰?~~
"那個人"是"解答"(應該說是某個數學家)...
你可以試試想出這個只需要一個式子的妙解.
N.T.T.F 寫到:猜一下...
兩個連續正整數的乘積=奇數
兩個連續正偶數的乘積=偶數
so...不能吧
lcflcflcf 寫到:宇智波鼬 寫到:lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積
我總覺得我這樣解有點兒怪
我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)
覺得怪只是我覺得
但我不知為何我會覺得怪...
好奇問問
"那個人"是誰?~~
宇智波鼬 寫到:lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積
我總覺得我這樣解有點兒怪
我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)
lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積
我總覺得我這樣解有點兒怪