galaxylee 寫到:qeypour 寫到:其實我真正想問的是
(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2 ..........(1)
(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2..(2)
(ax+by)(2/a+3/b)>=[sqrt(2x)+sqrt(3y)]^2........(3)
三式紅色部份都變動值
(1)式是我舉的例子,利用等號成立求5x+2y最小值產生錯誤
而galaxylee兄用的(2)(3)兩式紅色部份也是變動值,為何可以求a^2+b^2之最小值
而不產生錯誤?
(2)和(3)分開看只是兩個a,b,x,y的柯西不等式,無法得出極值線索
但合起來看可得
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2
(a^2+b^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2).............(*)
右式雖是一個變動值,不過和a,b無關而且a^2+b^2可能會有下界[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2)(目前還不敢保證是最小值)
所以嘗試讓(*)等號成立,得出兩組a,b,x,y的比例關係式,進一步得出x,y的關係式
代入(*)求出值,巧的是此值為一個定數,所以就是最小值。(當然,若該值不是定數,就不是最小值)
忘了登入
謝謝galaxylee兄,讓我對柯西不等式有更進一步之認知
thank you