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宇智波鼬 寫到:不怎麼簡單的題目:
一圓內接四邊形ABCD,且BC=CD.證明此四邊形的面積等於

sorry! 忘了登入，順便整理一下

1.
因為BC=DC，所以∠BAC=∠BDC=∠CBD=∠CAD=(1/2)∠A，AC是∠A的角平分線

2.
四邊形ABCD面積
=(1/2)*(AB)*(AC)*sin(1/2)A+(1/2)*(AD)*(AC)*sin(1/2)A
=(1/2)*(AC)*sin(1/2)A *(AB+AD)...................(*)

3.
底下證明AB+AD=2(AC)*cos(1/2)A 及完成主證明
因為(BC)^2=(DC)^2，由餘弦定理
(AB)^2+(AC)^2-2(AB)*(AC)*[cos(1/2)A]=(AD)^2+(AC)^2-2(AD)*(AC)*[cos(1/2)A]
整理成(AB+AD)*(AB-AD)=2(AB-AD)*(AC)*cos(1/2)A ..............(**)
之後要分兩種情形討論（AB≠AD與AB=AD）
(1)若AB≠AD，則(**)變成AB+AD=2(AC)*cos(1/2)A
(2)若AB=AD，則∠CBA=∠CDA=90度，所以 AB+AD=2(AC)*cos(1/2)A

4.
由(1)、(2)，四邊形ABCD面積(*)
=(1/2)*(AC)*sin(1/2)A *[2(AC)*cos(1/2)A]
=(1/2)*[(AC)^2]*(sinA)

證畢

宇智波鼬 寫到:再來一題比較簡單的,準備好咯!

一個三角形ABC,有一點D落在AB邊上,使得.證明角C為鈍角[即大於90度].

我不會畫圖，希望底下證明可以看的懂

用反證法
假設角C是銳角或90度
作線段BC'平行線段DC，C'在AC延長線上，則△ADC∼△ABC'
所以(AD/DC)=(AB/BC')
因為角C是銳角或90度，所以角BCC'為鈍角或90度，所以BC'>BC
因此(AD/DC)=(AB/BC')<(AB/BC)，和已知條件(AD/DC)=(AB/BC)矛盾。
故角C是鈍角。

再來一題比較簡單的,準備好咯!

一個三角形ABC,有一點D落在AB邊上,使得.證明角C為鈍角[即大於90度].

qeypour 寫到:作圖知角CBD=角CDB=角BAC=角CAD=K,角A=2K
令角ABD=@,則角ACD=@,角ADC=180度-@-K


ABCD面積＝1/2*AB*AC*sinK+1/2*AD*AC*sinK
             =1/2＊AC*sinK*(AB+AD)...........(1)


三角形ABC中,AB/sin(180度-@-2K)=AC/sin(@+K)
                  AB=AC*sin(180度-@-2K)/sin(@+K)
                     =AC*sin(@+2K)/sin(@+K)..........(2)


三角形ACD中,AD/sin@=AC/sin(@+K)
                  AD=AC*sin@/sin(@+K)............(3)

將(2)(3)代入(1)得ABCD面積=1/2＊AC*sinK*AC/sin(@+K)*(sin(@+2K)+sin@)
                                    
將sin(@+2K)+sin@和差化積得2*sin(@+K)*cosK代入上式
化簡得1/2*AC^2*2sinK*cosK=1/2*AC^2＊sin2K
                                       =1/2*AC^2＊sinA,得證

可是我書上的解答沒有那麼複雜耶! 不需要用到和差化積此一公式! 不過您的解法應該是對的[看得有點吃力].

作圖知角CBD=角CDB=角BAC=角CAD=K,角A=2K
令角ABD=@,則角ACD=@,角ADC=180度-@-K


ABCD面積＝1/2*AB*AC*sinK+1/2*AD*AC*sinK
             =1/2＊AC*sinK*(AB+AD)...........(1)


三角形ABC中,AB/sin(180度-@-2K)=AC/sin(@+K)
                  AB=AC*sin(180度-@-2K)/sin(@+K)
                     =AC*sin(@+2K)/sin(@+K)..........(2)


三角形ACD中,AD/sin@=AC/sin(@+K)
                  AD=AC*sin@/sin(@+K)............(3)

將(2)(3)代入(1)得ABCD面積=1/2＊AC*sinK*AC/sin(@+K)*(sin(@+2K)+sin@)
                                    
將sin(@+2K)+sin@和差化積得2*sin(@+K)*cosK代入上式
化簡得1/2*AC^2*2sinK*cosK=1/2*AC^2＊sin2K
                                       =1/2*AC^2＊sinA,得證

那就試著把完整的証明po上來吧! 只說用[托勒密定理]可解大家都會呀!

用托勒密定理可助解

不怎麼簡單的題目:
一圓內接四邊形ABCD,且BC=CD.證明此四邊形的面積等於