宇智波鼬 寫到:不怎麼簡單的題目:
一圓內接四邊形ABCD,且BC=CD.證明此四邊形的面積等於
sorry! 忘了登入,順便整理一下
1.
因為BC=DC,所以∠BAC=∠BDC=∠CBD=∠CAD=(1/2)∠A,AC是∠A的角平分線
2.
四邊形ABCD面積
=(1/2)*(AB)*(AC)*sin(1/2)A+(1/2)*(AD)*(AC)*sin(1/2)A
=(1/2)*(AC)*sin(1/2)A *(AB+AD)...................(*)
3.
底下證明AB+AD=2(AC)*cos(1/2)A 及完成主證明
因為(BC)^2=(DC)^2,由餘弦定理
(AB)^2+(AC)^2-2(AB)*(AC)*[cos(1/2)A]=(AD)^2+(AC)^2-2(AD)*(AC)*[cos(1/2)A]
整理成(AB+AD)*(AB-AD)=2(AB-AD)*(AC)*cos(1/2)A ..............(**)
之後要分兩種情形討論(AB≠AD與AB=AD)
(1)若AB≠AD,則(**)變成AB+AD=2(AC)*cos(1/2)A
(2)若AB=AD,則∠CBA=∠CDA=90度,所以 AB+AD=2(AC)*cos(1/2)A
4.
由(1)、(2),四邊形ABCD面積(*)
=(1/2)*(AC)*sin(1/2)A *[2(AC)*cos(1/2)A]
=(1/2)*[(AC)^2]*(sinA)
證畢